Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €20 000 під 8 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 8 років.

PV = €20 000r = 8%t = 8

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 23 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2004,2% / 12N = 276

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €6 500 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €10 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF = €6 500S = €10 000n = 8r = 6%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 000, €6 000, €7 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 000CF₃ = 7 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 9%n = 3

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 005 з дохідністю до погашення 3% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 6,6 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 100 базисних пунктів.

P₀ = €1 005y = 3%D = 6,6Δy = +100 bp

P = €

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €24,00; балансова вартість її власного капіталу €9 600 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,70 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €24 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 1 000 000P₀ = €24,00балансовий власний капітал = €9 600 000D₀ = €2,70g = 4%D = €24 000 000r_d = 3%T = 21%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 23, 38, 32, 40, 23, 53.

n = 7

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 90?

μ = 70σ = 10x = 90

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 5p = 0,5k = 3

P =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 98,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = балів

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 18 і стандартне відхилення s = 9,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 18s = 9,595%t(15) = 2,131

нижня межа =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

7 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 1,72, стандартне відхилення різниць 3,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = 1,72s_d = 3,8

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 54 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 43 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 43n₂ = 80

z =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 65). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 65)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 37930 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,08·8 = 0,64

e^0,64 = 1,896

Майбутня вартість

FV = 20 000·1,896 = €37 929,62

Відповідь

FV = €37 929,62

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 92742 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·23 = 276

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2,623 − 1)/0,0035 = €92 742,07

Відповідь

FV = €92 742,07

Самі ви внесли €55 200; решта — відсотки.

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −3362 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

6 500·6,21 = 40 363,66

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

10 000/1,594 = 6 274,12

NPV

NPV = −50 000 + 40 363,66 + 6 274,12 = −€3 362,22

Відповідь

NPV = −€3 362,22

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 46,16 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(45%) = 141,46

NPV(50%) = −444,44

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 45 + 5·141,46/(141,46 − (−444,44)) = 46,21%

точно: NPV(46,16%) = 0 → IRR = 46,16%

Відповідь

IRR = 46,16%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 948,4 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,045, N = 6

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €180,53

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,7679 = €767,90

Ціна

P = €948,42

Відповідь

P = €948,42

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 940,6 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 6,6/1,03 = 6,408

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −6,408·(0,01) = −6,408%

P ≈ 1005·(1 − 0,06408) = €940,60

Відповідь

P = €940,60

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,313 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·9% + 0,25·3%·(1 − 0,25) = 7,313%

Відповідь

WACC = 7,313%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,035 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 2,7·1,04 = €2,81

r_e = 2,808/24 + 0,04 = 15,7%

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€24,00 = €24 000 000

V = €48 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·15,7% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 9,035%

Відповідь

WACC = 9,035%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 10,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 241/7 = 34,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−2,429)² + (−11,43)² + 3,571² + (−2,429)² + 5,571² + (−11,43)² + 18,57² = 661,7

Стандартне відхилення

s = √(661,7/6) = 10,5

Відповідь

s = 10,5

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,162

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,5

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,3 = 7,6

Дисперсія

Var(X) = 7,6 − 2,5² = 1,35

σ = √1,35 = 1,162

Відповідь

σ = 1,162

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,3125

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 3) = 10·0,5³·0,5² = 10·0,125·0,25 = 0,3125

Відповідь

P = 0,3125

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 110,1 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 балів

Відповідь

x = 110,12 балів

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 12,94

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·9,5/√16 = 5,061

Інтервал

18 ± 5,061 → [12,94, 23,06]

Відповідь

нижня межа = 12,94

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Округліть угору

n = 1844

Відповідь

n = 1844

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,198

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 3,8/√7 = 1,436

Статистика критерію

t = 1,72/1,436 = 1,198

Відповідь

t = 1,198

При df = 6 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,447; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,213

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 54/120 = 0,45

p̂₂ = 43/80 = 0,5375

p̂ = 97/200 = 0,485

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,485·0,515·(1/120 + 1/80)) = 0,07214

Статистика критерію

z = (0,45 − 0,5375)/0,07214 = −1,213

Відповідь

z = −1,213

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9382

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 351/5 = 70,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1131

Коефіцієнт детермінації

r² = 206²/(40·1131) = 0,9382

Відповідь

r² = 0,9382

Близько 93,82% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,705

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 394/6 = 65,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

Лінія регресії

b = 94/17,5 = 5,371

a = 65,67 − 5,371·5,5 = 36,12

ŷ = 36,12 + 5,371·x

Прогнозоване значення

ŷ = 36,12 + 5,371·4,5 = 60,3

Залишок

e = 65 − 60,3 = 4,705

Відповідь

e = 4,705

Точка лежить вище прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income