Кредитна картка нараховує номінальну ставку 24 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 24%m = 4
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 23 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €502,4% / 12N = 276
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €30 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €30 000M = €3 000n = 6r = 8%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт A коштує €30 000 і приносить €17 000, €11 500, €7 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €40 000 і приносить €10 000, €18 500, €20 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 7%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 8 років і продається за €1 140. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 8P = €1 140
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,4. Вартість власного капіталу 9%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,4re = 9%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €21,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 26.
μ = 50σ = 20x = 26
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 10 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 10p = 0,5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 30,5 і 43,1 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 32σ = 6x1 = 30,5x2 = 43,1
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 9,1. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 200 спостережень?
99%n₁ = 100E₁ = 9,1n₂ = 200
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?
σ = 20E = 295%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 52 mm, відоме стандартне відхилення лінії 12 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 59,7 mm, відоме стандартне відхилення 10 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
У випробуванні одужують 36 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 78 з 300 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 78n₂ = 300
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (29,5, 98). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(29,5, 98)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 26,25 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,24/4 = 0,06
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,06)4 − 1 = 1,262 − 1 = 26,25%
Відповідь
EAR = 26,25%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 18394 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,08−6)/0,08 = 4,623
Ціна придбання, перерахована на рік
30 000/4,623 = 6 489,46
EAC
EAC = 6 489,46 + 3 000 = €9 489,46
Відповідь
EAC = €9 489,46
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 8,687 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 10 000 − 17 000 = −7 000
ΔCF2 = 18 500 − 11 500 = 7 000
ΔCF3 = 20 500 − 7 000 = 13 500
IRR різниці
NPVΔ(8%) = 236,63
NPVΔ(9%) = −105,78
r* = 8,687%
Відповідь
r* = 8,687%
Перевірка: при 8,687% обидві NPV дорівнюють €828,47.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1066 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,035, N = 18
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,5384)/0,035 = €527,59
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5384 = €538,36
Ціна
P = €1 065,95
Відповідь
P = €1 065,95
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 3,005 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 140 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(3%) = €1 140,39, P(4%) = €1 067,33
YTM = 3,005%
Відповідь
YTM = 3,005%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·9% + 0,2857·6%·(1 − 0,2) = 7,8%
Відповідь
WACC = 7,8%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,749 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€21,50 = €43 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1% + 1,8·4% = 8,2%
Ваги
V = €62 200 000, E/V = 0,6913, D/V = 0,3087
WACC
WACC = 0,6913·8,2% + 0,3087·5%·(1 − 0,3) = 6,749%
Відповідь
WACC = 6,749%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 8,473
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (26 − 50)/20 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 116
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,510 = 0,0009766
P(X = 1) = 10·0,5·0,59 = 0,009766
Додайте
P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074
Відповідь
P = 0,01074
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,5665
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25
z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85
Площа між
P = Φ(1,85) − Φ(−0,25) = 0,9678 − 0,4013 = 0,5665
Відповідь
P = 0,5665
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 466,3 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Назад до x
x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h
Відповідь
x = 466,34 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 6,435
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/200) = 0,7071
Нова похибка
E₂ = 9,1·0,7071 = 6,435
Відповідь
E₂ = 6,435
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 385
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·20/2)² = 384,2
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 385
Відповідь
n = 385
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −3,118
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(12²/40 + 10²/40) = √6,1 = 2,47
Статистика критерію
z = (52 − 59,7)/2,47 = −3,118
Відповідь
z = −3,118
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 0,8328
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 36/120 = 0,3
p̂₂ = 78/300 = 0,26
p̂ = 114/420 = 0,2714
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,2714·0,7286·(1/120 + 1/300)) = 0,04803
Статистика критерію
z = (0,3 − 0,26)/0,04803 = 0,8328
Відповідь
z = 0,8328
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9972
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 117/5 = 23,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174
Syy = Σ(y − ȳ)² = 761,2
Коефіцієнт кореляції
r = 174/√(40·761,2) = 0,9972
Відповідь
r = 0,9972
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −4,529
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 477/6 = 79,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 604,5
Лінія регресії
b = 604,5/157,5 = 3,838
a = 79,5 − 3,838·23,5 = −10,7
ŷ = −10,7 + 3,838·x
Прогнозоване значення
ŷ = −10,7 + 3,838·29,5 = 102,5
Залишок
e = 98 − 102,5 = −4,529
Відповідь
e = −4,529
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.