Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 4 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 7 років.

PV = €5 0004% / 4n = 7

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €25 000 через 3 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €25 0004,2% / 12N = 36

A = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €7 000, €15 000, €7 000, €9 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 15 000CF₃ = 7 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €23 500, €28 500, €33 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 500CF₂ = 28 500CF₃ = 33 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 3%n = 10

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 10 років і продається за €890. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 5%n = 10P = €890

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 500 000 акцій по €22,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,8r_f = 3%r_m = 9,5%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 15, 55, 21, 60, 17.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 90,4.

μ = 100σ = 8x = 90,4

z =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

σ =

12.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 10X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,1, 0,35, 0,05Y = 10X + 1

σ_Y =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 245 і 259 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 259

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 13 елементів має середнє 72 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 13x̄ = 72s = 790%t(12) = 1,782

E =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 24. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 122,56. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 24n = 144x̄ = 122,56H₁: μ ≠ μ₀

p =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 24. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 80%δ = 3σ = 24z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 114Σx² = 91Σy² = 2210Σxy = 372

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?

n = 6ŷ = 20

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 6606 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·7 = 28

Майбутня вартість

FV = 5 000·(1 + 0,01)²⁸ = 5 000·1,321 = €6 606,45

Відповідь

FV = €6 606,45

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 652,8 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·3 = 36

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0035/(1,134 − 1) = €652,83

Відповідь

A = €652,83

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 2960 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 7 000/1,06 = 6 603,77

CF₂/(1 + 0,06)² = 15 000/1,124 = 13 349,95

CF₃/(1 + 0,06)³ = 7 000/1,191 = 5 877,33

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 9 000/1,262 = 7 128,84

Додайте

NPV = €2 959,90

Відповідь

NPV = €2 959,90

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 30,25 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(30%) = 188,89

NPV(35%) = −3 338,92

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 30 + 5·188,89/(188,89 − (−3 338,92)) = 30,27%

точно: NPV(30,25%) = 0 → IRR = 30,25%

Відповідь

IRR = 30,25%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 914,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €10,00, i = 0,015, N = 20

Теперішня вартість купонів

€10,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €171,69

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,7425 = €742,47

Ціна

P = €914,16

Відповідь

P = €914,16

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 6,532 %

Рівняння для дохідності

€890 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Чисельний розв’язок

P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53

YTM = 6,532%

Відповідь

YTM = 6,532%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,506 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941

WACC

WACC = 0,7059·11% + 0,2941·3,5%·(1 − 0,28) = 8,506%

Відповідь

WACC = 8,506%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 12,17 %

Ринкові вартості

E = 2 500 000·€22,00 = €55 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 1,8·6,5% = 14,7%

Ваги

V = €76 000 000, E/V = 0,7237, D/V = 0,2763

WACC

WACC = 0,7237·14,7% + 0,2763·7%·(1 − 0,21) = 12,17%

Відповідь

WACC = 12,17%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 22

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 168/5 = 33,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−18,6)² + 21,4² + (−12,6)² + 26,4² + (−16,6)² = 1935

Стандартне відхилення

s = √(1935/4) = 22

Відповідь

s = 22

10.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (90,4 − 100)/8 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,359

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Дисперсія

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

σ = √1,848 = 1,359

Відповідь

σ = 1,359

12.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 12,6

Розкид X

μ = 1,75, Var(X) = 1,588, σ_X = 1,26

Лінійна зміна

σ_Y = |10|·1,26 = 12,6

Відповідь

σ_Y = 12,6

Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·1,75 + 1 = 18,5.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8054

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−1) = 0,9641 − 0,1587 = 0,8054

Відповідь

P = 0,8054

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 246,6 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Відповідь

x = 246,63 g

15.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,46

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Похибка оцінки

E = 1,782·7/√13 = 3,46

Відповідь

E = 3,46

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Округліть угору

n = 2655

Відповідь

n = 2655

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,2005

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (122,56 − 120)/2 = 1,28

Площа хвоста

Φ(1,28) = 0,8997

1 − Φ(1,28) = 0,1003

p-значення

p = 2·0,1003 = 0,2005

Відповідь

p = 0,2005

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 396

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 0,842)·24/3)² = 395,9

Округліть угору

n = 396

Відповідь

n = 396

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,973

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 372 − 21·114/6 = −27

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2210 − 114²/6 = 44

Коефіцієнт кореляції

r = −27/√(17,5·44) = −0,973

Відповідь

r = −0,973

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 1,45

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 81/6 = 13,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55,5

Лінія регресії

b = −55,5/17,5 = −3,171

a = 13,5 − (−3,171)·3,5 = 24,6

ŷ = 24,6 − 3,171·x

Розв’яжіть щодо x

x = (20 − 24,6)/(−3,171) = 1,45

Відповідь

x = 1,45

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income