Через 8 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0002% / 4n = 8
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 5 років. Рахунок дає 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €3006% / 12N = 60
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €23 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €15 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €60 000CF = €23 500S = €15 000n = 3r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €20 000, €29 000, €16 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 29 000CF3 = 16 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 6%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% двома піврічними платежами й погашається через 6 років. Вона продається за €1 076. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 7% (2×)n = 6P = €1 076
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1,5. Вартість власного капіталу 13%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €39,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 52?
μ = 60σ = 10x = 52
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.
n = 12k = 4
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,3 і €50 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€4: p = 0,3€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 757,9 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 757,9 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 9,4. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за 256 спостереженнями?
99%n₁ = 64E₁ = 9,495%n₂ = 256
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 98,5 kg, стандартне відхилення 2,5 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 108,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 18. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 45,56. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 50σ = 18n = 36x̄ = 45,56H₁: μ < μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 36 вимірювань має середнє 114,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 114,5σ = 15n = 3695%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 39). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(9, 39)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 17050 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·8 = 32
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,173 = €17 049,67
Відповідь
PV = €17 049,67
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 20931 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 2 752,00
NPV(30%) = −172,96
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,03, N = 10
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,7441)/0,03 = €213,26
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7441 = €744,09
Ціна
P = €957,35
Відповідь
P = €957,35
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 5,496 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €35,00, N = 12
Чисельний розв’язок
i = 2,748% за півроку
YTM
YTM = 2·2,748% = 5,496%
Відповідь
YTM = 5,496%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,6 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·5%·(1 − 0,2) = 7,6%
Відповідь
WACC = 7,6%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,767 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
11.Імовірність
Відповідь: N = 495
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Відповідь
N = 495
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 2,7 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 3 (p = 0,3), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)
Математичне сподівання
E(G) = 3·0,3 + 49·0,05 − 1·0,65 = 2,7 €
Відповідь
E(G) = 2,7 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,2119
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Імовірність
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 3,576
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/256) = 0,3804
Нова похибка
E₂ = 9,4·0,3804 = 3,576
Відповідь
E₂ = 3,576
16.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 12,08 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (5·2,5² + 5·9²)/10 = 43,63
sp = 6,605
Похибка оцінки
E = 3,169·6,605·√(1/6 + 1/6) = 12,08
Відповідь
E = 12,08 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,06944
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (45,56 − 50)/3 = −1,48
Площа хвоста
Φ(1,48) = 0,9306
1 − Φ(1,48) = 0,0694
p-значення
p = 0,06944
Відповідь
p = 0,06944
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 109,6
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·15/√36 = 4,9
Межа інтервалу
L = 114,5 − 4,9 = 109,6
Відповідь
L = 109,6
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9941
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 163/6 = 27,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239
Syy = Σ(y − ȳ)² = 820,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 239²/(70·820,8) = 0,9941
Відповідь
r² = 0,9941
Близько 99,41% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 1,957
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 171/6 = 28,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 299
Лінія регресії
b = 299/70 = 4,271
a = 28,5 − 4,271·7 = −1,4
ŷ = −1,4 + 4,271·x
Прогнозоване значення
ŷ = −1,4 + 4,271·9 = 37,04
Залишок
e = 39 − 37,04 = 1,957
Відповідь
e = 1,957
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.