Кредитна картка нараховує номінальну ставку 21 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 21%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €1 100. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €1 1004,8% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €14 000, €15 000, €15 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €10 500 наприкінці року 1 і зростає на 4 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF1 = €10 500g = 4%n = 7r = 10%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 6 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%), коли її дохідність до погашення становить 9%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 8%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 6y0 = 9%y1 = 8%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 10 років і продається за €1 145. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 10P = €1 145
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €5 000 000, привілейованими акціями вартістю €500 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 14%, вартість привілейованого капіталу 6%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €13,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 80.
μ = 70σ = 5x = 80
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 13 осіб? Порядок не має значення.
n = 13k = 5
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?
n = 11p = 0,5k = 1
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8904. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8904
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 86 і стандартне відхилення s = 13,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 86s = 13,599%t(9) = 3,25
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 8. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 8E = 1,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 студентів має середній бал 50,56 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,56s = 4n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 81 вимірювань має середнє 75,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 75,3σ = 5n = 8190%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 78?
n = 5ŷ = 78
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 23,36 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,21/365 = 0,0005753
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0005753)365 − 1 = 1,234 − 1 = 23,36%
Відповідь
EAR = 23,36%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 24 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,004/1100 = 0,9091
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,9091)/ln(1,004) = 23,88
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −9865 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 14 000/1,12 = 12 500,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 15 000/1,254 = 11 957,91
CF3/(1 + 0,12)3 = 15 000/1,405 = 10 676,70
Додайте
NPV = €−9 865,39
Відповідь
NPV = €−9 865,39
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −23174 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість ануїтету, що зростає
((1,04)/(1,1))7 = 0,6753
PV = 10 500/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6753) = 56 825,81
NPV
NPV = 56 825,81 − 80 000 = −€23 174,19
Відповідь
NPV = −€23 174,19
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 13,07 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (80 − 70)/5 = 2
Відповідь
z = 2
11.Імовірність
Відповідь: N = 1287
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Відповідь
N = 1287
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,005371
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,8904)/2 = 0,9452
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9452 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,60
Відповідь
z = 1,60
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8849
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Відповідь
P = 0,8849
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 72,13
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Похибка оцінки
E = 3,25·13,5/√10 = 13,87
Інтервал
86 ± 13,87 → [72,13, 99,87]
Відповідь
нижня межа = 72,13
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 110
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·8/1,5)² = 109,3
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 110
Відповідь
n = 110
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Статистика критерію
t = (50,56 − 50)/0,8 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 74,39
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·5/√81 = 0,9139
Межа інтервалу
L = 75,3 − 0,9139 = 74,39
Відповідь
L = 74,39
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9211
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 120/6 = 20
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 76
Коефіцієнт детермінації
r² = −35²/(17,5·76) = 0,9211
Відповідь
r² = 0,9211
Близько 92,11% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 25,11
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 324/5 = 64,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Лінія регресії
b = 170/40 = 4,25
a = 64,8 − 4,25·22 = −28,7
ŷ = −28,7 + 4,25·x
Розв’яжіть щодо x
x = (78 − (−28,7))/4,25 = 25,11
Відповідь
x = 25,11
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.