Через 5 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0005% / 4n = 5
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1507,2% / 12N = 348
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €24 000, €12 500, €14 500, €22 000, €20 500, €22 500 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Інвестиція €10 000 приносить €2 000 наприкінці кожного року протягом 10 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €10 000CF = €2 000n = 10
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 8 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3,5% до 1,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 6%n = 8y1 = 3,5%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% двома піврічними платежами й погашається через 9 років. Вона продається за €895. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 4% (2×)n = 9P = €895
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €5 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу 10%, вартість привілейованого капіталу 7,5%, вартість боргу до оподаткування 3%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €6 000 000 і вартістю власного капіталу 9%. Її борг складається з 8 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 9 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 074. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,3899. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,3899
z =
14.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 30% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів30%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 102,5 і стандартне відхилення s = 19,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 102,5s = 19,590%t(8) = 1,86
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 21. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 21E = 590%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 131,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 3 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 124,6 mm, відоме стандартне відхилення 18 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 13. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 7800 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·5 = 20
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,282 = €7 800,09
Відповідь
PV = €7 800,09
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 175464 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 24 000/1,06 = 22 641,51 → Σ = 22 641,51
рік 2: 12 500/1,124 = 11 124,96 → Σ = 33 766,46
рік 3: 14 500/1,191 = 12 174,48 → Σ = 45 940,94
рік 4: 22 000/1,262 = 17 426,06 → Σ = 63 367,01
Частка останнього року
DPB = 3 + 14 059,06/17 426,06 = 3,807
Відповідь
DPB = 3,807 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,409 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 15,1 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−10)/i = 10 000/2 000 = 5
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 15%: 5,019
i = 16%: 4,833
IRR = 15,1%
Відповідь
IRR = 15,1%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 165 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, N = 18
Чисельний розв’язок
i = 2,747% за півроку
YTM
YTM = 2·2,747% = 5,494%
Відповідь
YTM = 5,494%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,25 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (152 − 170)/15 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,4213
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Відповідь
P = 0,4213
12.Імовірність
Відповідь: σY = 11,17
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,05, Var(X) = 1,248, σX = 1,117
Лінійна зміна
σY = |10|·1,117 = 11,17
Відповідь
σY = 11,17
Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·2,05 − 3 = 17,5.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 0,51
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,3899)/2 = 0,6950
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,6950 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,51
Відповідь
z = 0,51
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 107,8 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,7
z з таблиці
z ≈ 0,52
Назад до початкових одиниць
x = 100 + 0,52·15 = 107,8 балів
Відповідь
x = 107,8 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 90,41
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Похибка оцінки
E = 1,86·19,5/√9 = 12,09
Інтервал
102,5 ± 12,09 → [90,41, 114,6]
Відповідь
нижня межа = 90,41
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 48
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·21/5)² = 47,73
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 48
Відповідь
n = 48
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,687
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(3²/80 + 18²/50) = √6,593 = 2,568
Статистика критерію
z = (131,5 − 124,6)/2,568 = 2,687
Відповідь
z = 2,687
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 262
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·13/2)² = 261,3
Округліть угору
n = 262
Відповідь
n = 262
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9841
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 405/6 = 67,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 610,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2444
Коефіцієнт кореляції
r = 610,5/√(157,5·2444) = 0,9841
Відповідь
r = 0,9841
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 35,17
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 162/6 = 27
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286
Лінія регресії
b = 286/70 = 4,086
a = 27 − 4,086·7 = −1,6
ŷ = −1,6 + 4,086·x
Прогноз
ŷ = −1,6 + 4,086·9 = 35,17
Відповідь
ŷ = 35,17
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.