Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 4 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €8 000g = 1%r = 4%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €20 000 через 15 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €20 0004,2% / 12N = 180
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €100 000. Він приносить €16 500 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €10 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF = €16 500S = €10 000n = 7r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 000, €5 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 7 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%), коли її дохідність до погашення становить 4%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 7y0 = 4%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 5 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 5P = €935
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1,5. Вартість власного капіталу 11%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
D/E = 1,5re = 11%rd = 4%T = 25%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 4 000 000 акцій по €52,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 34?
μ = 50σ = 20x = 34
P =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 3 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 3
P =
12.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 0,5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2Y = 0,5X − 3
σY =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 244 і 259 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 259
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 елементів має середнє 49 і стандартне відхилення s = 18. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 16x̄ = 49s = 1890%t(15) = 1,753
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 35E = 595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 119,5, стандартне відхилення 10. Група 2: 17 студентів, середній бал 128,1, стандартне відхилення 2. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 5x̄₁ = 119,5s₁ = 10n₂ = 17x̄₂ = 128,1s₂ = 2
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 8. Насправді середнє дорівнює 53,1. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 50μ = 53,1σ = 8n = 64α = 0,10
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 105?
n = 5ŷ = 105
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 266667 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 245,75
NPV(20%) = −347,22
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 15 + 5·245,75/(245,75 − (−347,22)) = 17,07%
точно: NPV(17,01%) = 0 → IRR = 17,01%
Відповідь
IRR = 17,01%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = −2,838 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(5%) = €956,71, P(6%) = €915,75
YTM = 5,523%
Відповідь
YTM = 5,523%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,2 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·4%·(1 − 0,25) = 6,2%
Відповідь
WACC = 6,2%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,753 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 4 000 000·€52,00 = €208 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 1,2·5% = 8%
Ваги
V = €217 800 000, E/V = 0,955, D/V = 0,045
WACC
WACC = 0,955·8% + 0,045·3,5%·(1 − 0,28) = 7,753%
Відповідь
WACC = 7,753%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 18,44
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,4213
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Відповідь
P = 0,4213
12.Імовірність
Відповідь: σY = 0,5568
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,4, Var(X) = 1,24, σX = 1,114
Лінійна зміна
σY = |0,5|·1,114 = 0,5568
Відповідь
σY = 0,5568
Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·2,4 − 3 = −1,8.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,849
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8
Площа між
P = Φ(1,8) − Φ(−1,2) = 0,9641 − 0,1151 = 0,849
Відповідь
P = 0,849
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Відповідь
P = 0,7389
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 7,888
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Похибка оцінки
E = 1,753·18/√16 = 7,888
Відповідь
E = 7,888
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 189
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·35/5)² = 188,2
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 189
Відповідь
n = 189
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,51
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (4·10² + 16·2²)/20 = 23,2
sp = 4,817
Стандартна похибка
SE = 4,817·√(1/5 + 1/17) = 2,45
Статистика критерію
t = (119,5 − 128,1)/2,45 = −3,51
Відповідь
t = −3,51
При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 96,55 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 50 + 1,282·1 = 51,28
z при справжньому середньому
z = (51,28 − 53,1)/1 = −1,818
Потужність
потужність = P(Z > −1,818) = 96,55%
1 − β = 96,55%
Відповідь
1 − β = 96,55%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9398
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31
Syy = Σ(y − ȳ)² = 108,8
Коефіцієнт кореляції
r = −31/√(10·108,8) = −0,9398
Відповідь
r = −0,9398
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 19,03
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 554/5 = 110,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Лінія регресії
b = 240/40 = 6
a = 110,8 − 6·20 = −9,2
ŷ = −9,2 + 6·x
Розв’яжіть щодо x
x = (105 − (−9,2))/6 = 19,03
Відповідь
x = 19,03
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.