Ви інвестуєте €12 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 3 років.
PV = €12 0004,8% / 4n = 3
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 18? Знайдіть залишок боргу B.
P = €200 0006% / 12N = 300k = 216
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €7 000, €5 000, €6 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €4 500, €5 500, €5 500 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 6 років. Її дохідність до погашення змінюється з 8% до 7%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 4,5%n = 6y1 = 8%y2 = 7%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 3 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 3P = €1 060
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €5 000 000, привілейованими акціями вартістю €500 000 і боргом вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 7%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 30%. Знайдіть WACC.
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €6 000 000 і вартістю власного капіталу 11%. Її борг складається з 5 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 5 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 068. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень менша за 462,5?
μ = 500σ = 25x = 462,5
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,05, 0,35, 0,15, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €2 з імовірністю 0,25 і €20 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€2: p = 0,25€20: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 240,25 і 256 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 240,25x2 = 256
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 20%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 117,5 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 104,5 h, відоме стандартне відхилення 12 h. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?
p = 0,5E = 0,02595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 42 mm, відоме стандартне відхилення лінії 15 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 38 mm, відоме стандартне відхилення 18 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 118,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 118,4σ = 4n = 4990%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 13847 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 300 − 216 = 84
B = 1289·(1 − (1 + 0,005)−84)/0,005 = €88 208,78
Відповідь
B = €88 208,78
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −4736 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 7 000/1,09 = 6 422,02
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 6 000/1,295 = 4 633,10
Додайте
NPV = €−4 736,48
Відповідь
NPV = €−4 736,48
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 17,89 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
4 500·1,062 = 5 056,20
5 500·1,061 = 5 830,00
5 500·1,060 = 5 500,00
TV = 16 386,20
MIRR
MIRR = (16 386,20/10 000)1/3 − 1 = 17,89%
Відповідь
MIRR = 17,89%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 42,64 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(1%) = €1 088,23, P(2%) = €1 057,68
YTM = 1,923%
Відповідь
YTM = 1,923%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,011 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Відповідь
P = 0,06681
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,64
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 1 (p = 0,25), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)
Математичне сподівання
E(G) = 1·0,25 + 19·0,01 − 1·0,74 = −0,3 €
Відповідь
E(G) = −0,3 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8593
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (240,25 − 250)/5 = −1,95
z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2
Площа між
P = Φ(1,2) − Φ(−1,95) = 0,8849 − 0,02559 = 0,8593
Відповідь
P = 0,8593
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 87,38 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Назад до x
x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 балів
Відповідь
x = 87,38 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 16,44 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 117,5 − 104,5 = 13
Стандартна похибка
SE = √(8²/50 + 12²/80) = 1,755
Похибка оцінки
E = 1,96·1,755 = 3,44
Інтервал
13 ± 3,44 → [9,56, 16,44]
Відповідь
верхня межа = 16,44 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537
Округліть угору
n = 1537
Відповідь
n = 1537
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,513
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(15²/60 + 18²/100) = √6,99 = 2,644
Статистика критерію
z = (42 − 38)/2,644 = 1,513
Відповідь
z = 1,513
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 117,5
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·4/√49 = 0,94
Межа інтервалу
L = 118,4 − 0,94 = 117,5
Відповідь
L = 117,5
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9734
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 628/6 = 104,7
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2223
Коефіцієнт кореляції
r = 384/√(70·2223) = 0,9734
Відповідь
r = 0,9734
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 23,05
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 131/5 = 26,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Лінія регресії
b = −21/10 = −2,1
a = 26,2 − (−2,1)·3 = 32,5
ŷ = 32,5 − 2,1·x
Прогноз
ŷ = 32,5 + (−2,1)·4,5 = 23,05
Відповідь
ŷ = 23,05
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.