Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 3 років.
PV = €5 0003,6% / 4n = 3
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 7? Знайдіть залишок боргу B.
P = €300 0004,2% / 12N = 240k = 84
B = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €7 500 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €15 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €60 000CF = €7 500S = €15 000n = 8r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 500, €5 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 2,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 3,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 5y0 = 2,5%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 10 років і продається за €855. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 10P = €855
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,6. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1,5. Ставка податку 28%, безризикова ставка 2%, ринкова премія за ризик 7%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 67,2.
μ = 60σ = 12x = 67,2
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.
n = 10k = 2
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,3 і €60 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€15: p = 0,3€60: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 25,1 і 36,8 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 36,8
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 5% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів5%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 7 елементів має середнє 113 і стандартне відхилення s = 6. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 7x̄ = 113s = 690%t(6) = 1,943
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 15 ділянок, середній урожай 51,5 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 16 ділянок, середнє 58,5 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 81 студентів має середній бал 500,4 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 500,4s = 5n = 81
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 93.75. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 100μ = 93,75σ = 15n = 36α = 0,10
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 75?
n = 5ŷ = 75
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 5568 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 240 − 84 = 156
B = 1850·(1 − (1 + 0,0035)−156)/0,0035 = €222 063,40
Відповідь
B = €222 063,40
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −16684 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(10%) = 454,55
NPV(15%) = −189,04
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−189,04)) = 13,53%
точно: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%
Відповідь
IRR = 13,47%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = −0,99 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€855 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Чисельний розв’язок
P(5%) = €922,78, P(6%) = €852,80
YTM = 5,967%
Відповідь
YTM = 5,967%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,257 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·10% + 0,4286·5%·(1 − 0,28) = 7,257%
Відповідь
WACC = 7,257%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 10,74 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,6·(1 + 0,72·1,5) = 1,248
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 1,248·7% = 10,74%
Відповідь
re = 10,74%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 17,71
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (67,2 − 60)/12 = 0,6
Відповідь
z = 0,6
11.Імовірність
Відповідь: N = 45
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
Відповідь
N = 45
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 2,7 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 12 (p = 0,3), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)
Математичне сподівання
E(G) = 12·0,3 + 57·0,02 − 3·0,68 = 2,7 €
Відповідь
E(G) = 2,7 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6631
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8
Площа між
P = Φ(0,8) − Φ(−1,15) = 0,7881 − 0,1251 = 0,6631
Відповідь
P = 0,6631
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 81,4 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,95
z з таблиці
z ≈ 1,64
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 балів
Відповідь
x = 81,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,406
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Похибка оцінки
E = 1,943·6/√7 = 4,406
Відповідь
E = 4,406
16.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 3,705 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (14·4² + 15·7,5²)/29 = 36,82
sp = 6,068
Похибка оцінки
E = 1,699·6,068·√(1/15 + 1/16) = 3,705
Відповідь
E = 3,705 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,72
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Статистика критерію
t = (500,4 − 500)/0,5556 = 0,72
Відповідь
t = 0,72
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 88,84 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 100 − 1,282·2,5 = 96,8
z при справжньому середньому
z = (96,8 − 93,75)/2,5 = 1,218
Потужність
потужність = P(Z < 1.218) = 88.84%
1 − β = 88,84%
Відповідь
1 − β = 88,84%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,5473
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 111/5 = 22,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9
Syy = Σ(y − ȳ)² = 14,8
Коефіцієнт детермінації
r² = −9²/(10·14,8) = 0,5473
Відповідь
r² = 0,5473
Близько 54,73% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 5,964
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 348/5 = 69,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224
Лінія регресії
b = 224/40 = 5,6
a = 69,6 − 5,6·5 = 41,6
ŷ = 41,6 + 5,6·x
Розв’яжіть щодо x
x = (75 − 41,6)/5,6 = 5,964
Відповідь
x = 5,964
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.