Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 4 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €8 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 12 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2502,4% / 12N = 144
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €50 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €50 000M = €5 000n = 8r = 12%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €9 500, €11 500, €7 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 11 500CF3 = 7 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 12 років і виплачує річні купони. Вона продається за €957, коли дохідність до погашення становить 5,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 12P = €957YTM = 5,5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 3 років і продається за €975. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €18,00; балансова вартість її власного капіталу €45 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,20 на акцію, і дивіденди зростають на 3% на рік. Її борг має ринкову вартість €54 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 82 і 115 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 82x2 = 115
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 43,5 і стандартне відхилення s = 8,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 43,5s = 8,590%t(9) = 1,833
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 14E = 1,590%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 81,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 17 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 84,9 mm, відоме стандартне відхилення 17 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 4E = 395%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 54?
n = 6ŷ = 54
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 400000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,12−8)/0,12 = 4,968
Ціна придбання, перерахована на рік
50 000/4,968 = 10 065,14
EAC
EAC = 10 065,14 + 5 000 = €15 065,14
Відповідь
EAC = €15 065,14
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 20,8 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 243,06
NPV(25%) = −1 200,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,055)−12 = €525,98
Купон
C = (957 − 525,98)/8,619 = €50,01
Купонна ставка
c = 50,01/1000 = 5,001%
Відповідь
c = 5,001%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,97 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€975 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €974,23
YTM = 7,97%
Відповідь
YTM = 7,97%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,627 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·13% + 0,3333·4%·(1 − 0,28) = 9,627%
Відповідь
WACC = 9,627%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,58 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Відповідь
P = 0,06681
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2
Відповідь
P = 0,2
12.Імовірність
Відповідь: σY = 3,639
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,7, Var(X) = 3,31, σX = 1,819
Лінійна зміна
σY = |2|·1,819 = 3,639
Відповідь
σY = 3,639
Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·3,7 + 10 = 17,4.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7263
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
Площа між
P = Φ(1) − Φ(−1,2) = 0,8413 − 0,1151 = 0,7263
Відповідь
P = 0,7263
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9616
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616
Відповідь
P = 0,9616
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 38,57
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Похибка оцінки
E = 1,833·8,5/√10 = 4,927
Інтервал
43,5 ± 4,927 → [38,57, 48,43]
Відповідь
нижня межа = 38,57
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 236
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·14/1,5)² = 235,7
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 236
Відповідь
n = 236
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,414
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(17²/100 + 17²/100) = √5,78 = 2,404
Статистика критерію
z = (81,5 − 84,9)/2,404 = −1,414
Відповідь
z = −1,414
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·4/3)² = 6,83
Округліть угору
n = 7
Відповідь
n = 7
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9582
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 373/6 = 62,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 269
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1079
Коефіцієнт детермінації
r² = 269²/(70·1079) = 0,9582
Відповідь
r² = 0,9582
Близько 95,82% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 1,556
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 393/6 = 65,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103,5
Лінія регресії
b = 103,5/17,5 = 5,914
a = 65,5 − 5,914·3,5 = 44,8
ŷ = 44,8 + 5,914·x
Розв’яжіть щодо x
x = (54 − 44,8)/5,914 = 1,556
Відповідь
x = 1,556
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.