Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €6 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 4,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €6 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €25 0006% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €22 000, €23 000, €25 000, €19 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €7 500, €8 000, €6 500, €9 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 12 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 12 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3,5% до 5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 3%n = 12y1 = 3,5%y2 = 5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 6 років і продається за €950. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 6P = €950
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,5. Вартість власного капіталу 9%, вартість боргу до оподаткування 7%, а ставка податку 25%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,5re = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,9. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 550?
μ = 500σ = 50x = 550
P =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,25 і €50 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€25: p = 0,25€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них перевищує 396,2 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 396,2 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 40% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 8 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −6 і стандартне відхилення 3. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 8d̄ = −6sd = 390%t(7) = 1,895
нижня межа = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 12 kg, стандартне відхилення 3 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 16 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 36 студентів має середній бал 101,4 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101,4s = 12n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 20E = 395%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 200000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8356
A = 25 000·0,005/(1 − 0,8356) = €760,55
Відповідь
A = €760,55
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 7848 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 22 000/1,12 = 19 642,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 23 000/1,254 = 18 335,46
CF3/(1 + 0,12)3 = 25 000/1,405 = 17 794,51
CF4/(1 + 0,12)4 = 19 000/1,574 = 12 074,84
Додайте
NPV = €7 847,67
Відповідь
NPV = €7 847,67
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 16,9 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
7 500·1,123 = 10 536,96
8 000·1,122 = 10 035,20
6 500·1,121 = 7 280,00
9 500·1,120 = 9 500,00
TV = 37 352,16
MIRR
MIRR = (37 352,16/20 000)1/4 − 1 = 16,9%
Відповідь
MIRR = 16,9%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −128,9 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€950 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €949,24
YTM = 4,985%
Відповідь
YTM = 4,985%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,75 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·9% + 0,3333·7%·(1 − 0,25) = 7,75%
Відповідь
WACC = 7,75%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 8,85 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,9·(1 + 0,75·0,4) = 1,17
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,17·5% = 8,85%
Відповідь
re = 8,85%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 7,563
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,7209
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Відповідь
P = 0,7209
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 3,75 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 20 (p = 0,25), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)
Математичне сподівання
E(G) = 20·0,25 + 45·0,05 − 5·0,7 = 3,75 €
Відповідь
E(G) = 3,75 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 400 g, σT = 1,2·√10 = 3,795 g
Стандартизуйте
z = (396,2 − 400)/3,795 = −1
Імовірність
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 510 h
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,6
z з таблиці
z ≈ 0,25
Назад до початкових одиниць
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Відповідь
x = 510 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −8,01 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 7, t = 1,895
Похибка оцінки
E = 1,895·3/√8 = 2,01
Інтервал
−6 ± 2,01 → [−8,01, −3,99]
Відповідь
нижня межа = −8,01 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −13,31 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (4·3² + 6·6²)/10 = 25,2
sp = 5,02
Похибка оцінки
E = 3,169·5,02·√(1/5 + 1/7) = 9,315
Інтервал
−4 ± 9,315 → [−13,31, 5,315]
Відповідь
нижня межа = −13,31 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Статистика критерію
t = (101,4 − 100)/2 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 171
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·20/3)² = 170,7
Округліть угору
n = 171
Відповідь
n = 171
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9874
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 86/5 = 17,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102
Syy = Σ(y − ȳ)² = 266,8
Коефіцієнт кореляції
r = 102/√(40·266,8) = 0,9874
Відповідь
r = 0,9874
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 17,12
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 119/6 = 19,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47,5
Лінія регресії
b = −47,5/17,5 = −2,714
a = 19,83 − (−2,714)·3,5 = 29,33
ŷ = 29,33 − 2,714·x
Прогноз
ŷ = 29,33 + (−2,714)·4,5 = 17,12
Відповідь
ŷ = 17,12
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.