Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €8 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.

PV = €8 0002% / 12n = 4

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €500 наприкінці кожного місяця протягом 30 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €5004,8% / 12N = 360

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €29 000, €30 000, €30 000, €29 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 29 000CF₂ = 30 000CF₃ = 30 000CF₄ = 29 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 000, €6 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 9 років і виплачує річні купони. Вона продається за €864, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 9P = €864YTM = 6%

c = %

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 7 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 4%n = 7P = €1 060

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,1. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Ставка податку 25,8%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 1,1D/E = 0,25T = 25,8%r_f = 3%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 37, 10, 51, 18, 54.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 62?

μ = 50σ = 12x = 62

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,1 і €200 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€50: p = 0,1€200: p = 0,05

E(G) = €

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7923. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7923

z =

14.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 85% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 69,5 і стандартне відхилення s = 1,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 69,5s = 1,590%t(15) = 1,753

нижня межа =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p = 0,5E = 0,0599%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 73,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 20 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 66,6 mm, відоме стандартне відхилення 16 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 50x̄₁ = 73,5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 50x̄₂ = 66,6 mmσ₂ = 16 mm

z =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 36 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 31 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 31n₂ = 120

z =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 120Σx² = 364Σy² = 3018Σxy = 1046

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 8666 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·4 = 48

Майбутня вартість

FV = 8 000·(1 + 0,001667)⁴⁸ = 8 000·1,083 = €8 665,72

Відповідь

FV = €8 665,72

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 401074 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·30 = 360

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(4,209 − 1)/0,004 = €401 073,74

Відповідь

FV = €401 073,74

Самі ви внесли €180 000; решта — відсотки.

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 35566 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 29 000/1,09 = 26 605,50

CF₂/(1 + 0,09)² = 30 000/1,188 = 25 250,40

CF₃/(1 + 0,09)³ = 30 000/1,295 = 23 165,50

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 29 000/1,412 = 20 544,33

Додайте

NPV = €35 565,74

Відповідь

NPV = €35 565,74

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 22,89 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 347,22

NPV(25%) = −240,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·347,22/(347,22 − (−240,00)) = 22,96%

точно: NPV(22,89%) = 0 → IRR = 22,89%

Відповідь

IRR = 22,89%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 4 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,06)⁻⁹ = €591,90

Купон

C = (864 − 591,90)/6,802 = €40,00

Купонна ставка

c = 40/1000 = 4%

Відповідь

c = 4%

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 3,036 %

Рівняння для дохідності

€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Чисельний розв’язок

P(3%) = €1 062,30, P(4%) = €1 000,00

YTM = 3,036%

Відповідь

YTM = 3,036%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,073 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·12% + 0,5455·4%·(1 − 0,258) = 7,073%

Відповідь

WACC = 7,073%

8.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 9,52 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 1,1·(1 + 0,742·0,25) = 1,304

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 1,304·5% = 9,52%

Відповідь

r_e = 9,52%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 19,56

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 170/5 = 34

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3² + (−24)² + 17² + (−16)² + 20² = 1530

Стандартне відхилення

s = √(1530/4) = 19,56

Відповідь

s = 19,56

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

11.Імовірність

Відповідь: σ = 11,61

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,1 + 40·0,3 = 24,5

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,1 + 1600·0,3 = 735

Дисперсія

Var(X) = 735 − 24,5² = 134,8

σ = √134,8 = 11,61

Відповідь

σ = 11,61

12.Імовірність

Відповідь: E(G) = 5 €

Чисті результати

G: 40 (p = 0,1), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,85)

Математичне сподівання

E(G) = 40·0,1 + 190·0,05 − 10·0,85 = 5 €

Відповідь

E(G) = 5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,26

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,7923)/2 = 0,8962

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8962 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,26

Відповідь

z = 1,26

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 542 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Відповідь

x = 542 h

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 68,84

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Похибка оцінки

E = 1,753·1,5/√16 = 0,6574

Інтервал

69,5 ± 0,6574 → [68,84, 70,16]

Відповідь

нижня межа = 68,84

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6

Округліть угору

n = 664

Відповідь

n = 664

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,905

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(20²/50 + 16²/50) = √13,12 = 3,622

Статистика критерію

z = (73,5 − 66,6)/3,622 = 1,905

Відповідь

z = 1,905

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 0,7195

Вибіркові частки

p̂₁ = 36/120 = 0,3

p̂₂ = 31/120 = 0,2583

p̂ = 67/240 = 0,2792

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,2792·0,7208·(1/120 + 1/120)) = 0,05791

Статистика критерію

z = (0,3 − 0,2583)/0,05791 = 0,7195

Відповідь

z = 0,7195

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9904

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1046 − 42·120/6 = 206

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3018 − 120²/6 = 618

Коефіцієнт кореляції

r = 206/√(70·618) = 0,9904

Відповідь

r = 0,9904

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 81,4

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 320/5 = 64

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232

Лінія регресії

b = 232/40 = 5,8

a = 64 − 5,8·6 = 29,2

ŷ = 29,2 + 5,8·x

Прогноз

ŷ = 29,2 + 5,8·9 = 81,4

Відповідь

ŷ = 81,4

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income