Через 10 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0005% / 12n = 10
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 28 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1002,4% / 12N = 336
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €250 000. Він приносить €26 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €250 000CF1 = €26 000g = 1%r = 9%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €14 000, €17 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 17 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 7 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 6%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 7y0 = 6%y1 = 5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 3,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 8%n = 3YTM = 3,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €5 000 000 і вартістю власного капіталу 11%. Її борг складається з 8 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 4%, 7 років до погашення), кожна з яких торгується за €971. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Знайдіть z-оцінку z для результату 475.
μ = 500σ = 50x = 475
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.
n = 10k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €5 з імовірністю 0,2 і €10 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€5: p = 0,2€10: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8997. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8997
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 95 h, відоме стандартне відхилення 10 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 81 h, відоме стандартне відхилення 10 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 16. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?
σ = 16E = 299%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 81 студентів має середній бал 48,28 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,28s = 5n = 81
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 100 вимірювань має середнє 119,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 119,2σ = 5n = 10095%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 12143 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·10 = 120
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,647 = €12 143,22
Відповідь
PV = €12 143,22
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 47842 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 26 000/(0,09 − 0,01) = 325 000,00
NPV
NPV = 325 000,00 − 250 000 = €75 000,00
Відповідь
NPV = €75 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 15,09 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 28,36
NPV(20%) = −1 527,78
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 15 + 5·28,36/(28,36 − (−1 527,78)) = 15,09%
точно: NPV(15,09%) = 0 → IRR = 15,09%
Відповідь
IRR = 15,09%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 11,21 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 80/1,035 = 77,29, t·PV = 77,29
t = 2: 80/1,071 = 74,68, t·PV = 149,36
t = 3: 1080/1,109 = 974,10, t·PV = 2 922,29
Дюрація
P = 1 126,07
D = 3 148,95/1 126,07 = 2,796
Відповідь
D = 2,796 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,17 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 7,17%
Відповідь
WACC = 7,17%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,335 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (475 − 500)/50 = −0,5
Відповідь
z = −0,5
11.Імовірність
Відповідь: N = 120
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120
Відповідь
N = 120
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 0,1 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 4 (p = 0,2), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)
Математичне сподівання
E(G) = 4·0,2 + 9·0,01 − 1·0,79 = 0,1 €
Відповідь
E(G) = 0,1 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = −1,28
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,8997 = 0,1003
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,1003 усередині таблиці й зчитайте z.
z = −1,28
Відповідь
z = −1,28
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Імовірність
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,399 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 95 − 81 = 14
Стандартна похибка
SE = √(10²/60 + 10²/80) = 1,708
Похибка оцінки
E = 2,576·1,708 = 4,399
Відповідь
E = 4,399 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 425
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·16/2)² = 424,7
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 425
Відповідь
n = 425
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,096
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Статистика критерію
t = (48,28 − 50)/0,5556 = −3,096
Відповідь
t = −3,096
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 118,2
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·5/√100 = 0,98
Межа інтервалу
L = 119,2 − 0,98 = 118,2
Відповідь
L = 118,2
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8934
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 59,5
Коефіцієнт детермінації
r² = −30,5²/(17,5·59,5) = 0,8934
Відповідь
r² = 0,8934
Близько 89,34% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 24,65
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 104/5 = 20,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154
Лінія регресії
b = 154/40 = 3,85
a = 20,8 − 3,85·6 = −2,3
ŷ = −2,3 + 3,85·x
Прогноз
ŷ = −2,3 + 3,85·7 = 24,65
Відповідь
ŷ = 24,65
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.