Через 7 років вам потрібно €50 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €50 0002% / 4n = 7
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1504,2% / 12N = 348
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €400 000. Він приносить €34 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 3 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €400 000CF1 = €34 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €4 000, €5 500, €5 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 5 500CF3 = 5 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 4 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%), коли її дохідність до погашення становить 3,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 2,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 4y0 = 3,5%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 6 років і продається за €1 100. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 6P = €1 100
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,25. Вартість власного капіталу 12%, вартість боргу до оподаткування 7%, а ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,25re = 12%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €26,50; балансова вартість її власного капіталу €15 900 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,00 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €13 300 000 і вартість до оподаткування 4%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 420 і 562 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 500σ = 40x1 = 420x2 = 562
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 49,5 і стандартне відхилення s = 8,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 49,5s = 8,599%t(8) = 3,355
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,2 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?
p ≈ 0,2E = 0,0299%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 97,99. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 100σ = 12n = 64x̄ = 97,99H₁: μ < μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 100 вимірювань має середнє 77. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 77σ = 10n = 10099%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 43483 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·7 = 28
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,15 = €43 483,08
Відповідь
PV = €43 483,08
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 101710 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 34 000/(0,1 − 0,03) = 485 714,29
NPV
NPV = 485 714,29 − 400 000 = €85 714,29
Відповідь
NPV = €85 714,29
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 22,02 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 335,65
NPV(25%) = −464,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 20 + 5·335,65/(335,65 − (−464,00)) = 22,1%
точно: NPV(22,02%) = 0 → IRR = 22,02%
Відповідь
IRR = 22,02%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 6,284 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 100 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17
YTM = 5,028%
Відповідь
YTM = 5,028%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,72 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·12% + 0,2·7%·(1 − 0,2) = 10,72%
Відповідь
WACC = 10,72%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,675 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Відповідь
P = 0,8849
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2143
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Відповідь
P = 0,2143
12.Імовірність
Відповідь: σY = 2,322
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,05, Var(X) = 1,348, σX = 1,161
Лінійна зміна
σY = |−2|·1,161 = 2,322
Відповідь
σY = 2,322
Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·3,05 + 10 = 3,9.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9167
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (420 − 500)/40 = −2
z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55
Площа між
P = Φ(1,55) − Φ(−2) = 0,9394 − 0,02275 = 0,9167
Відповідь
P = 0,9167
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7881
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Стандартизуйте
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 59,01
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Похибка оцінки
E = 3,355·8,5/√9 = 9,506
Інтервал
49,5 ± 9,506 → [39,99, 59,01]
Відповідь
верхня межа = 59,01
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 2655
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 2,576²·0,2·0,8/0,02² = 2654
Округліть угору
n = 2655
Відповідь
n = 2655
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,09012
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (97,99 − 100)/1,5 = −1,34
Площа хвоста
Φ(1,34) = 0,9099
1 − Φ(1,34) = 0,0901
p-значення
p = 0,09012
Відповідь
p = 0,09012
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 74,42
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·10/√100 = 2,576
Межа інтервалу
L = 77 − 2,576 = 74,42
Відповідь
L = 74,42
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9446
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 375/5 = 75
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Syy = Σ(y − ȳ)² = 332
Коефіцієнт детермінації
r² = 56²/(10·332) = 0,9446
Відповідь
r² = 0,9446
Близько 94,46% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 30,4
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 104/5 = 20,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Лінія регресії
b = 128/40 = 3,2
a = 20,8 − 3,2·6 = 1,6
ŷ = 1,6 + 3,2·x
Прогноз
ŷ = 1,6 + 3,2·9 = 30,4
Відповідь
ŷ = 30,4
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.