Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €2 000. Очікується, що дохід зростатиме на 3 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €2 000g = 3%r = 5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €5 000 під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €175. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €5 000A = €1757,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €7 000, €10 000, €5 000, €10 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €14 000, €12 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 14 000CF2 = 12 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 4 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 4P = €935
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €37,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 20%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 65.
μ = 60σ = 5x = 65
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?
n = 8p = 0,25k = 5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8508. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8508
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 98 і стандартне відхилення s = 16. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 98s = 1695%t(8) = 2,306
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 13. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 13E = 2,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 73,65 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,65s = 15n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 4E = 295%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 15?
n = 6ŷ = 15
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 100000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,006/175 = 0,8286
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8286)/ln(1,006) = 31,44
Округлення вгору до повних платежів
Після 31 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 32
Відповідь
N = 32 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 6987 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 7 000/1,07 = 6 542,06
CF2/(1 + 0,07)2 = 10 000/1,145 = 8 734,39
CF3/(1 + 0,07)3 = 5 000/1,225 = 4 081,49
CF4/(1 + 0,07)4 = 10 000/1,311 = 7 628,95
Додайте
NPV = €6 986,88
Відповідь
NPV = €6 986,88
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 20 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 0,00
NPV(25%) = −1 120,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 20 + 5·0,00/(0,00 − (−1 120,00)) = 20%
точно: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%
Відповідь
IRR = 20%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 964,1 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,025, N = 18
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,6412)/0,025 = €322,95
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6412 = €641,17
Ціна
P = €964,12
Відповідь
P = €964,12
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 9,007 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€935 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(9%) = €935,21, P(10%) = €904,90
YTM = 9,007%
Відповідь
YTM = 9,007%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,297 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·11% + 0,2857·7%·(1 − 0,28) = 9,297%
Відповідь
WACC = 9,297%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,559 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (65 − 60)/5 = 1
Відповідь
z = 1
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 0,7
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Дисперсія
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Відповідь
Var(X) = 0,7
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,02307
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,8508 = 0,1492
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,1492 усередині таблиці й зчитайте z.
z = −1,04
Відповідь
z = −1,04
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7881
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Стандартизуйте
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 110,3
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Похибка оцінки
E = 2,306·16/√9 = 12,3
Інтервал
98 ± 12,3 → [85,7, 110,3]
Відповідь
верхня межа = 110,3
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 104
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·13/2,5)² = 103,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 104
Відповідь
n = 104
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Статистика критерію
t = (73,65 − 75)/1,5 = −0,9
Відповідь
t = −0,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 16
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·4/2)² = 15,37
Округліть угору
n = 16
Відповідь
n = 16
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9855
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 595/5 = 119
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3226
Коефіцієнт кореляції
r = 531/√(90·3226) = 0,9855
Відповідь
r = 0,9855
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 5,328
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 111/6 = 18,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5
Лінія регресії
b = −33,5/17,5 = −1,914
a = 18,5 − (−1,914)·3,5 = 25,2
ŷ = 25,2 − 1,914·x
Розв’яжіть щодо x
x = (15 − 25,2)/(−1,914) = 5,328
Відповідь
x = 5,328
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.