Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 3 років.
PV = €3 0003% / 12n = 3
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 28 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1507,2% / 12N = 336
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €18 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує сьогодні €50 000. Його грошовий потік становить €15 000 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 4. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €50 000CF1 = €15 000g = 3%n = 4r = 12%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 13 років і виплачує річні купони. Вона продається за €867, коли дохідність до погашення становить 6%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 13P = €867YTM = 6%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 6 років і продається за €930. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
E = €3 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 3%T = 28%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €15 000 000 і вартістю власного капіталу 10%. Її борг складається з 4 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 7%, 12 років до погашення), кожна з яких торгується за €961. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 90?
μ = 100σ = 5x = 90
P =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 6
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 7p = 0,25
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9399. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9399
z =
14.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 15% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 11 елементів має середнє 44,5 і стандартне відхилення s = 14,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 11x̄ = 44,5s = 14,599%t(10) = 3,169
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 77 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 16 ділянок, середнє 73 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 42,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 16 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 47,1 mm, відоме стандартне відхилення 16 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 1,5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 8. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 75). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(5, 75)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 3282 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 18 000/1,08 = 16 666,67 → Σ = 16 666,67
рік 2: 18 000/1,166 = 15 432,10 → Σ = 32 098,77
рік 3: 18 000/1,26 = 14 288,98 → Σ = 46 387,75
рік 4: 18 000/1,36 = 13 230,54 → Σ = 59 618,28
Частка останнього року
DPB = 3 + 3 612,25/13 230,54 = 3,273
Відповідь
DPB = 3,273 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,778 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −2547 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 4,498 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,06)−13 = €468,84
Купон
C = (867 − 468,84)/8,853 = €44,98
Купонна ставка
c = 44,98/1000 = 4,498%
Відповідь
c = 4,498%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,491 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,491%
Відповідь
YTM = 7,491%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 4,107 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·8% + 0,6667·3%·(1 − 0,28) = 4,107%
Відповідь
WACC = 4,107%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,169 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,6651
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Відповідь
P = 0,6651
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,4449
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,757 = 0,1335
P(X = 1) = 7·0,25·0,756 = 0,3115
Додайте
P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449
Відповідь
P = 0,4449
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,88
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9399)/2 = 0,9699
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9699 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,88
Відповідь
z = 1,88
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 458 h
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,15
z з таблиці
z ≈ −1,04
Назад до початкових одиниць
x = 500 − 1,04·40 = 458 h
Відповідь
x = 458 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 13,85
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Похибка оцінки
E = 3,169·14,5/√11 = 13,85
Відповідь
E = 13,85
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 1,001 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (5·4² + 15·3,5²)/20 = 13,19
sp = 3,631
Похибка оцінки
E = 1,725·3,631·√(1/6 + 1/16) = 2,999
Інтервал
4 ± 2,999 → [1,001, 6,999]
Відповідь
нижня межа = 1,001 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,485
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(16²/80 + 16²/40) = √9,6 = 3,098
Статистика критерію
z = (42,5 − 47,1)/3,098 = −1,485
Відповідь
z = −1,485
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 449
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,645)·8/1,5)² = 448,5
Округліть угору
n = 449
Відповідь
n = 449
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9924
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 184/6 = 30,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1137
Коефіцієнт кореляції
r = 280/√(70·1137) = 0,9924
Відповідь
r = 0,9924
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 5,1
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 369/5 = 73,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
Лінія регресії
b = 156/40 = 3,9
a = 73,8 − 3,9·6 = 50,4
ŷ = 50,4 + 3,9·x
Прогнозоване значення
ŷ = 50,4 + 3,9·5 = 69,9
Залишок
e = 75 − 69,9 = 5,1
Відповідь
e = 5,1
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.