Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 16 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 16%m = 4

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 20 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €250 0005,4% / 12N = 240

A = €

3.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €40 000 і приносить €14 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 500CF₃ = 14 500CF₄ = 14 500CF₅ = 14 500CF₆ = 14 500

DPB = роки

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €16 500, €12 500, €17 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 12 500CF₃ = 17 000

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 12 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5,5% до 5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 4%n = 12y₁ = 5,5%y₂ = 5%

ΔP = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 060 з дохідністю до погашення 3% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 7,4 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 150 базисних пунктів.

P₀ = €1 060y = 3%D = 7,4Δy = −150 bp

P = €

7.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 0,6 має необхідну дохідність 6,5%. Безризикова ставка 3,5%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 0,6r_e = 6,5%r_f = 3,5%

r_m = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €35,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 10%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 3%r_m = 10%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 53, 58, 27, 34, 16.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень менша за 400?

μ = 500σ = 100x = 400

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

12.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,1, 0,2Y = −2X + 20

σ_Y =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 27,5 і 42,8 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,5x₂ = 42,8

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 15 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 9,9 і стандартне відхилення 5,4. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 15d̄ = 9,9s_d = 5,499%t(14) = 2,977

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,15 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?

p ≈ 0,15E = 0,0295%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 40. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 125,04. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 40n = 100x̄ = 125,04H₁: μ ≠ μ₀

p =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 199%

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 113Σx² = 220Σy² = 3153Σxy = 832

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 5?

n = 5ŷ = 5

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 16,99 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,16/4 = 0,04

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,04)⁴ − 1 = 1,17 − 1 = 16,99%

Відповідь

EAR = 16,99%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 1706 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,3404

A = 250 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 705,63

Відповідь

A = €1 705,63

3.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,108 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 14 500/1,06 = 13 679,25 → Σ = 13 679,25

рік 2: 14 500/1,124 = 12 904,95 → Σ = 26 584,19

рік 3: 14 500/1,191 = 12 174,48 → Σ = 38 758,67

рік 4: 14 500/1,262 = 11 485,36 → Σ = 50 244,03

Частка останнього року

DPB = 3 + 1 241,33/11 485,36 = 3,108

Відповідь

DPB = 3,108 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,759 років).

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 37,97 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(35%) = 990,45

NPV(40%) = −641,40

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 35 + 5·990,45/(990,45 − (−641,40)) = 38,03%

точно: NPV(37,97%) = 0 → IRR = 37,97%

Відповідь

IRR = 37,97%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = 40,65 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €40,00, i = 0,055, N = 12

€40,00·(1 − 0,526)/0,055 + €1 000·0,526 = €344,74 + €525,98 = €870,72

Ціна за нової дохідності

C = €40,00, i = 0,05, N = 12

€40,00·(1 − 0,5568)/0,05 + €1 000·0,5568 = €354,53 + €556,84 = €911,37

Зміна

ΔP = 911,37 − 870,72 = €40,65

Відповідь

ΔP = €40,65

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1174 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 7,4/1,03 = 7,184

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −7,184·(−0,015) = 10,78%

P ≈ 1060·(1 + 0,1078) = €1 174,23

Відповідь

P = €1 174,23

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 8,5 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (6,5% − 3,5%)/0,6 = 5%

Ринкова дохідність

r_m = 3,5% + 5% = 8,5%

Відповідь

r_m = 8,5%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,81 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€35,00 = €70 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 1,2·7% = 11,4%

Ваги

V = €74 800 000, E/V = 0,9358, D/V = 0,06417

WACC

WACC = 0,9358·11,4% + 0,06417·3%·(1 − 0,25) = 10,81%

Відповідь

WACC = 10,81%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 17,64

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 188/5 = 37,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 15,4² + 20,4² + (−10,6)² + (−3,6)² + (−21,6)² = 1245

Стандартне відхилення

s = √(1245/4) = 17,64

Відповідь

s = 17,64

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

11.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8367

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсія

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Відповідь

σ = 0,8367

12.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,216

Розкид X

μ = 1,15, Var(X) = 1,227, σ_X = 1,108

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·1,108 = 2,216

Відповідь

σ_Y = 2,216

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1,15 + 20 = 17,7.

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7374

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75

z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−0,75) = 0,9641 − 0,2266 = 0,7374

Відповідь

P = 0,7374

14.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 14,05 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·5,4/√15 = 4,151

Інтервал

9,9 ± 4,151 → [5,749, 14,05]

Відповідь

верхня межа = 14,05 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1225

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,15·0,85/0,02² = 1225

Округліть угору

n = 1225

Відповідь

n = 1225

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,2077

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 40/√100 = 4

z = (125,04 − 120)/4 = 1,26

Площа хвоста

Φ(1,26) = 0,8962

1 − Φ(1,26) = 0,1038

p-значення

p = 2·0,1038 = 0,2077

Відповідь

p = 0,2077

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 107

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·4/1)² = 106,2

Округліть угору

n = 107

Відповідь

n = 107

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9947

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 832 − 30·113/5 = 154

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3153 − 113²/5 = 599,2

Коефіцієнт кореляції

r = 154/√(40·599,2) = 0,9947

Відповідь

r = 0,9947

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,889

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 46/5 = 9,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

Лінія регресії

b = 54/40 = 1,35

a = 9,2 − 1,35·6 = 1,1

ŷ = 1,1 + 1,35·x

Розв’яжіть щодо x

x = (5 − 1,1)/1,35 = 2,889

Відповідь

x = 2,889

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income