Ви інвестуєте €1 000 під 8 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 9 років.
PV = €1 000r = 8%t = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €250 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 10? Знайдіть залишок боргу B.
P = €250 0004,8% / 12N = 300k = 120
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €5 000, €10 000, €6 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €9 500 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 10. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF1 = €9 500g = 5%n = 10r = 8%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 3%), коли її дохідність до погашення становить 5,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 4,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 5y0 = 5,5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 5 років і продається за €1 040. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 5P = €1 040
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Її WACC 6,42%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 4 000 000 акцій по €24,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 20%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 60?
μ = 100σ = 20x = 60
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,25, 0,1
σ =
12.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 3X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35Y = 3X − 3
σY =
13.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них менша за 399 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16< 399 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 25%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 15 елементів має середнє 53,5 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 15x̄ = 53,5s = 790%t(14) = 1,761
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 10,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.
n = 16s = 10,6 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 106 mm, відоме стандартне відхилення лінії 7 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 101,9 mm, відоме стандартне відхилення 10 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 22?
n = 5ŷ = 22
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 2054 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,08·9 = 0,72
e0,72 = 2,054
Майбутня вартість
FV = 1 000·2,054 = €2 054,43
Відповідь
FV = €2 054,43
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 183555 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 300 − 120 = 180
B = 1432·(1 − (1 + 0,004)−180)/0,004 = €183 555,34
Відповідь
B = €183 555,34
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −2682 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 5 000/1,1 = 4 545,45
CF2/(1 + 0,1)2 = 10 000/1,21 = 8 264,46
CF3/(1 + 0,1)3 = 6 000/1,331 = 4 507,89
Додайте
NPV = €−2 682,19
Відповідь
NPV = €−2 682,19
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −2256 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість ануїтету, що зростає
((1,05)/(1,08))10 = 0,7545
PV = 9 500/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7545) = 77 743,76
NPV
NPV = 77 743,76 − 80 000 = −€2 256,24
Відповідь
NPV = −€2 256,24
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 9,286 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 042,12, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,049%
Відповідь
YTM = 6,049%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,995 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Частка боргу у WACC
0,4286·6%·(1 − 0,28) = 1,851%
Вартість власного капіталу
re = (6,42% − 1,851%)/0,5714 = 7,995%
Відповідь
re = 7,995%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,994 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
11.Імовірність
Відповідь: σ = 0,995
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,1 = 2,1
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,1 = 5,4
Дисперсія
Var(X) = 5,4 − 2,1² = 0,99
σ = √0,99 = 0,995
Відповідь
σ = 0,995
12.Імовірність
Відповідь: σY = 7,464
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,9, Var(X) = 6,19, σX = 2,488
Лінійна зміна
σY = |3|·2,488 = 7,464
Відповідь
σY = 7,464
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,9 − 3 = 5,7.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,3085
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 400 kg, σT = 0,5·√16 = 2 kg
Стандартизуйте
z = (399 − 400)/2 = −0,5
Імовірність
P = Φ(−0,5) = 0,3085
Відповідь
P = 0,3085
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 58,26 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 балів
Відповідь
x = 58,26 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 56,68
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Похибка оцінки
E = 1,761·7/√15 = 3,183
Інтервал
53,5 ± 3,183 → [50,32, 56,68]
Відповідь
верхня межа = 56,68
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 7,83 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 15·10,6² = 1685
Межі для σ²
1685/27,488 = 61,31
1685/6,262 = 269,1
Межа для σ
σ = √61,31 = 7,83 µm
Відповідь
σ = 7,83 µm
95 % інтервал для σ: [7,83, 16,41] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,602
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(7²/60 + 10²/60) = √2,483 = 1,576
Статистика критерію
z = (106 − 101,9)/1,576 = 2,602
Відповідь
z = 2,602
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 122,1
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·20/√64 = 4,112
Межа інтервалу
U = 118 + 4,112 = 122,1
Відповідь
U = 122,1
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9505
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 2301 − 33·401/6 = 95,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 27377 − 401²/6 = 576,8
Коефіцієнт кореляції
r = 95,5/√(17,5·576,8) = 0,9505
Відповідь
r = 0,9505
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 2,222
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Лінія регресії
b = −18/10 = −1,8
a = 20,6 − (−1,8)·3 = 26
ŷ = 26 − 1,8·x
Розв’яжіть щодо x
x = (22 − 26)/(−1,8) = 2,222
Відповідь
x = 2,222
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.