Кредитна картка нараховує номінальну ставку 18 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 18%m = 2
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €20 000 під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €400. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €20 000A = €4004,8% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €50 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €5 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €50 000M = €5 000n = 6r = 10%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €10 500, €7 500, €9 500 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 10 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 11 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5% до 3,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 8%n = 11y1 = 5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 2,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 7%n = 3YTM = 2,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
У компанії 5 000 000 акцій по €57,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 112?
μ = 100σ = 20x = 112
P =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?
n = 10p = 0,1k = 4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 172,4 і 192,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 172,4x2 = 192,35
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 60% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів60%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3,5. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за 100 спостереженнями?
90%n₁ = 50E₁ = 3,599%n₂ = 100
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 24 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 10 ділянок, середнє 33,5 kg, стандартне відхилення 7 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 84 mm, відоме стандартне відхилення лінії 16 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 76,6 mm, відоме стандартне відхилення 15 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 500,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 500,2σ = 4n = 4999%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?
n = 5ŷ = 20
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 18,81 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,18/2 = 0,09
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,09)2 − 1 = 1,188 − 1 = 18,81%
Відповідь
EAR = 18,81%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 56 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,004/400 = 0,8
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,8)/ln(1,004) = 55,9
Округлення вгору до повних платежів
Після 55 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 56
Відповідь
N = 56 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 16480 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,1−6)/0,1 = 4,355
Ціна придбання, перерахована на рік
50 000/4,355 = 11 480,37
EAC
EAC = 11 480,37 + 5 000 = €16 480,37
Відповідь
EAC = €16 480,37
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 15,05 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
10 500·1,12 = 12 705,00
7 500·1,11 = 8 250,00
9 500·1,10 = 9 500,00
TV = 30 455,00
MIRR
MIRR = (30 455,00/20 000)1/3 − 1 = 15,05%
Відповідь
MIRR = 15,05%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 155,9 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 70/1,025 = 68,29, t·PV = 68,29
t = 2: 70/1,051 = 66,63, t·PV = 133,25
t = 3: 1070/1,077 = 993,60, t·PV = 2 980,80
Дюрація
P = 1 128,52
D = 3 182,35/1 128,52 = 2,82
Відповідь
D = 2,82 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,507 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Відповідь
P = 0,7257
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,7209
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Відповідь
P = 0,7209
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,01116
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (172,4 − 178)/7 = −0,8
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05
Площа між
P = Φ(2,05) − Φ(−0,8) = 0,9798 − 0,2119 = 0,768
Відповідь
P = 0,768
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 62,5 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,4
z з таблиці
z ≈ −0,25
Назад до початкових одиниць
x = 65 − 0,25·10 = 62,5 балів
Відповідь
x = 62,5 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 3,876
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(50/100) = 1,107
Нова похибка
E₂ = 3,5·1,107 = 3,876
Відповідь
E₂ = 3,876
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −20,92 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (6·9² + 9·7²)/15 = 61,8
sp = 7,861
Похибка оцінки
E = 2,947·7,861·√(1/7 + 1/10) = 11,42
Інтервал
−9,5 ± 11,42 → [−20,92, 1,917]
Відповідь
нижня межа = −20,92 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,614
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(16²/60 + 15²/60) = √8,017 = 2,831
Статистика критерію
z = (84 − 76,6)/2,831 = 2,614
Відповідь
z = 2,614
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 498,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·4/√49 = 1,472
Межа інтервалу
L = 500,2 − 1,472 = 498,7
Відповідь
L = 498,7
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8251
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 120/6 = 20
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38
Syy = Σ(y − ȳ)² = 100
Коефіцієнт детермінації
r² = −38²/(17,5·100) = 0,8251
Відповідь
r² = 0,8251
Близько 82,51% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 8,791
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 70/5 = 14
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
Лінія регресії
b = 86/40 = 2,15
a = 14 − 2,15·6 = 1,1
ŷ = 1,1 + 2,15·x
Розв’яжіть щодо x
x = (20 − 1,1)/2,15 = 8,791
Відповідь
x = 8,791
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.