Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.
PV = €5 0005% / 12n = 4
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 22 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2504,8% / 12N = 264
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €7 000, €9 000, €9 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €11 500, €10 500, €17 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 10 500CF3 = 17 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 15 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3% до 2%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 7%n = 15y1 = 3%y2 = 2%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% двома піврічними платежами й погашається через 5 років. Вона продається за €1 068. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 5% (2×)n = 5P = €1 068
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €6 000 000, привілейованими акціями вартістю €2 000 000 і боргом вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу 9%, вартість привілейованого капіталу 6%, вартість боргу до оподаткування 6%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €40,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 6%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 60.
μ = 70σ = 10x = 60
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 10p = 0,2k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 244,25 і 259 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 259
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 128 h, відоме стандартне відхилення 11 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 136,5 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 29E = 190%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 20. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 117,3. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ < 120. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 120σ = 20n = 64x̄ = 117,3H₁: μ < μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 6. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 32?
n = 5ŷ = 32
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 6104 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 7 000/1,08 = 6 481,48
CF2/(1 + 0,08)2 = 9 000/1,166 = 7 716,05
CF3/(1 + 0,08)3 = 9 000/1,26 = 7 144,49
Додайте
NPV = €1 342,02
Відповідь
NPV = €1 342,02
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 24,05 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 1 712,96
NPV(25%) = −376,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, N = 10
Чисельний розв’язок
i = 1,753% за півроку
YTM
YTM = 2·1,753% = 3,505%
Відповідь
YTM = 3,505%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,622 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€40,50 = €81 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 0,9·4% = 5,6%
Ваги
V = €85 900 000, E/V = 0,943, D/V = 0,05704
WACC
WACC = 0,943·5,6% + 0,05704·7%·(1 − 0,25) = 5,58%
Відповідь
WACC = 5,58%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 18,64
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (60 − 70)/10 = −1
Відповідь
z = −1
11.Імовірність
Відповідь: σ = 0,8047
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Дисперсія
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Відповідь
σ = 0,8047
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,302
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 45·0,22·0,88 = 45·0,04·0,1678 = 0,302
Відповідь
P = 0,302
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,839
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8
Площа між
P = Φ(1,8) − Φ(−1,15) = 0,9641 − 0,1251 = 0,839
Відповідь
P = 0,839
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9207
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Відповідь
P = 0,9207
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −12,66 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 128 − 136,5 = −8,5
Стандартна похибка
SE = √(11²/40 + 13²/50) = 2,531
Похибка оцінки
E = 1,645·2,531 = 4,163
Інтервал
−8,5 ± 4,163 → [−12,66, −4,337]
Відповідь
нижня межа = −12,66 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 2276
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·29/1)² = 2276
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 2276
Відповідь
n = 2276
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,1401
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5
z = (117,3 − 120)/2,5 = −1,08
Площа хвоста
Φ(1,08) = 0,8599
1 − Φ(1,08) = 0,1401
p-значення
p = 0,1401
Відповідь
p = 0,1401
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 64
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,645)·6/3)² = 63,08
Округліть угору
n = 64
Відповідь
n = 64
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9453
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 256/5 = 51,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46
Syy = Σ(y − ȳ)² = 236,8
Коефіцієнт кореляції
r = 46/√(10·236,8) = 0,9453
Відповідь
r = 0,9453
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 2,579
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 187/5 = 37,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Лінія регресії
b = 38/10 = 3,8
a = 37,4 − 3,8·4 = 22,2
ŷ = 22,2 + 3,8·x
Розв’яжіть щодо x
x = (32 − 22,2)/3,8 = 2,579
Відповідь
x = 2,579
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.