Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €12 000. Очікується, що дохід зростатиме на 4 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 6 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €12 000g = 4%r = 6%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 23 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 23? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 4%n = 23

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €26 000, €34 000, €22 000, €19 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 26 000CF₂ = 34 000CF₃ = 22 000CF₄ = 19 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 500, €6 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 9%n = 6

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 8 років і продається за €855. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 5%n = 8P = €855

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.

E = €3 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 1,3 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 30%, безризикова ставка 2%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,5T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 25, 40, 41, 40, 29.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 54.

μ = 60σ = 5x = 54

z =

11.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 8 осіб? Порядок не має значення.

n = 8k = 3

N =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 9p = 0,3k = 5

P =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 98,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 6 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 8,3 і стандартне відхилення 5,3. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 6d̄ = 8,3s_d = 5,395%t(5) = 2,571

нижня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 13 ділянок, середній урожай 56 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 45 kg, стандартне відхилення 9 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 56s₁ = 1,5n₂ = 9x̄₂ = 45s₂ = 995%t(20) = 2,086

E = kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 49 студентів має середній бал 204,9 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,9s = 20n = 49

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 23. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 3σ = 23z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 116Σx² = 55Σy² = 2726Σxy = 331

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 37?

n = 5ŷ = 37

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 600000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,06 − 0,04) = 12 000/0,02 = €600 000,00

Відповідь

PV = €600 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 228496 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,04)²³ − 1)/0,04 = 36,62

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·36,62·1,04 = €228 495,62

Відповідь

FV = €228 495,62

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 6242 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 26 000/1,1 = 23 636,36

CF₂/(1 + 0,1)² = 34 000/1,21 = 28 099,17

CF₃/(1 + 0,1)³ = 22 000/1,331 = 16 528,93

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 19 000/1,464 = 12 977,26

Додайте

NPV = €6 241,72

Відповідь

NPV = €6 241,72

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 19,43 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 567,11

NPV(20%) = −69,44

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·567,11/(567,11 − (−69,44)) = 19,45%

точно: NPV(19,43%) = 0 → IRR = 19,43%

Відповідь

IRR = 19,43%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 908,8 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,045, N = 12

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,5897)/0,045 = €319,15

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5897 = €589,66

Ціна

P = €908,81

Відповідь

P = €908,81

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 7,473 %

Рівняння для дохідності

€855 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Чисельний розв’язок

P(7%) = €880,57, P(8%) = €827,60

YTM = 7,473%

Відповідь

YTM = 7,473%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,343 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

WACC

WACC = 0,4286·10% + 0,5714·5%·(1 − 0,28) = 6,343%

Відповідь

WACC = 6,343%

8.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 11,87 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 1,3/(1 + 0,7·0,5) = 0,963

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 0,963·(1 + 0,7·1,5) = 1,974

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 1,974·5% = 11,87%

Відповідь

r_e = 11,87%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 7,45

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 175/5 = 35

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−10)² + 5² + 6² + 5² + (−6)² = 222

Стандартне відхилення

s = √(222/4) = 7,45

Відповідь

s = 7,45

10.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (54 − 60)/5 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

11.Імовірність

Відповідь: N = 56

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Відповідь

N = 56

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,07351

Біноміальна формула

P(X = 5) = 126·0,3⁵·0,7⁴ = 126·0,00243·0,2401 = 0,07351

Відповідь

P = 0,07351

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

14.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 2,737 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 5, t = 2,571

Похибка оцінки

E = 2,571·5,3/√6 = 5,563

Інтервал

8,3 ± 5,563 → [2,737, 13,86]

Відповідь

нижня межа = 2,737 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,255 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (12·1,5² + 8·9²)/20 = 33,75

s_p = 5,809

Похибка оцінки

E = 2,086·5,809·√(1/13 + 1/9) = 5,255

Відповідь

E = 5,255 kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,715

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Статистика критерію

t = (204,9 − 200)/2,857 = 1,715

Відповідь

t = 1,715

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 590

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·23/3)² = 589,9

Округліть угору

n = 590

Відповідь

n = 590

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9113

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 331 − 15·116/5 = −17

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2726 − 116²/5 = 34,8

Коефіцієнт кореляції

r = −17/√(10·34,8) = −0,9113

Відповідь

r = −0,9113

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,032

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 231/5 = 46,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Лінія регресії

b = 124/40 = 3,1

a = 46,2 − 3,1·5 = 30,7

ŷ = 30,7 + 3,1·x

Розв’яжіть щодо x

x = (37 − 30,7)/3,1 = 2,032

Відповідь

x = 2,032

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income