Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €6 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 6 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €6 000g = 2%r = 6%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €2 000 на початку кожного року протягом 14 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 6 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 14? Знайдіть FV.

A = €2 000i = 6%n = 14

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €29 000, €35 000, €32 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 29 000CF₂ = 35 000CF₃ = 32 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €27 000, €27 000, €24 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 27 000CF₂ = 27 000CF₃ = 24 000

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 5,5%n = 4

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 9 років і продається за €825. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 9P = €825

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Її WACC 11,09%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €6 000 000D = €2 000 000WACC = 11,09%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

8.CAPM і WACCСкладна

Компанія має власний капітал ринковою вартістю €5 000 000 і вартістю власного капіталу 9%. Її борг складається з 5 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 6%, 8 років до погашення), кожна з яких торгується за €970. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.

E = €5 000 000r_e = 9%облігації: 5 000 × €970купон = 6%n = 8T = 28%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 49, 39, 55, 59, 35, 40.

n = 7

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 93,6?

μ = 100σ = 8x = 93,6

P =

11.ІмовірністьСередня

У мішечку 8 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

8 / 8

P =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,25

P =

13.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них перевищує 403 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 403 kg

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 4,1 і стандартне відхилення 5. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = 4,1s_d = 595%t(8) = 2,306

E = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 8 ділянок, середній урожай 93,5 kg, стандартне відхилення 10 kg. Група ділянок 2: 18 ділянок, середнє 81,5 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 93,5s₁ = 10n₂ = 18x̄₂ = 81,5s₂ = 4,590%t(24) = 1,711

верхня межа = kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12,5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 55,7. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 50σ = 12,5n = 25x̄ = 55,7H₁: μ > μ₀

p =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 9. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 95%δ = 2,5σ = 9z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 150000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,06 − 0,02) = 6 000/0,04 = €150 000,00

Відповідь

PV = €150 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 44552 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,06)¹⁴ − 1)/0,06 = 21,02

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 2 000·21,02·1,06 = €44 551,94

Відповідь

FV = €44 551,94

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 5774 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 29 000/1,09 = 26 605,50

CF₂/(1 + 0,09)² = 35 000/1,188 = 29 458,80

CF₃/(1 + 0,09)³ = 32 000/1,295 = 24 709,87

Додайте

NPV = €5 774,18

Відповідь

NPV = €5 774,18

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 43,6 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(40%) = 1 807,58

NPV(45%) = −665,05

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 40 + 5·1 807,58/(1 807,58 − (−665,05)) = 43,66%

точно: NPV(43,6%) = 0 → IRR = 43,6%

Відповідь

IRR = 43,6%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1018 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €30,00, i = 0,0275, N = 8

Теперішня вартість купонів

€30,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €212,83

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8049 = €804,91

Ціна

P = €1 017,74

Відповідь

P = €1 017,74

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 5,519 %

Рівняння для дохідності

€825 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Чисельний розв’язок

P(5%) = €857,84, P(6%) = €795,95

YTM = 5,519%

Відповідь

YTM = 5,519%

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 14 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

Частка боргу у WACC

0,25·3%·(1 − 0,21) = 0,5925%

Вартість власного капіталу

r_e = (11,09% − 0,5925%)/0,75 = 14%

Відповідь

r_e = 14%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,87 %

Вартість боргу (YTM)

970 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 6,493%

Ринкові вартості

D = 5 000·€970 = €4 850 000

V = €9 850 000, E/V = 0,5076, D/V = 0,4924

WACC

WACC = 0,5076·9% + 0,4924·6,493%·(1 − 0,28) = 6,87%

Відповідь

WACC = 6,87%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 8,807

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 324/7 = 46,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 0,7143² + 2,714² + (−7,286)² + 8,714² + 12,71² + (−11,29)² + (−6,286)² = 465,4

Стандартне відхилення

s = √(465,4/6) = 8,807

Відповідь

s = 8,807

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,2333

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333

Відповідь

P = 0,2333

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,4449

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,75⁷ = 0,1335

P(X = 1) = 7·0,25·0,75⁶ = 0,3115

Додайте

P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449

Відповідь

P = 0,4449

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Стандартизуйте

z = (403 − 400)/2 = 1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 194,3 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Відповідь

x = 194,28 cm

15.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,843 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·5/√9 = 3,843

Відповідь

E = 3,843 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 16,8 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (7·10² + 17·4,5²)/24 = 43,51

s_p = 6,596

Похибка оцінки

E = 1,711·6,596·√(1/8 + 1/18) = 4,796

Інтервал

12 ± 4,796 → [7,204, 16,8]

Відповідь

верхня межа = 16,8 kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,0113

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5

z = (55,7 − 50)/2,5 = 2,28

Площа хвоста

Φ(2,28) = 0,9887

1 − Φ(2,28) = 0,0113

p-значення

p = 0,0113

Відповідь

p = 0,0113

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 205

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 1,645)·9/2,5)² = 204,4

Округліть угору

n = 205

Відповідь

n = 205

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9259

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 74/5 = 14,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 172,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 80²/(40·172,8) = 0,9259

Відповідь

r² = 0,9259

Близько 92,59% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 79,93

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 375/6 = 62,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 305

Лінія регресії

b = 305/70 = 4,357

a = 62,5 − 4,357·6 = 36,36

ŷ = 36,36 + 4,357·x

Прогноз

ŷ = 36,36 + 4,357·10 = 79,93

Відповідь

ŷ = 79,93

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income