Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €1 500 наприкінці кожного року протягом 20 років. Процентна ставка 5 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €1 500i = 5%n = 20

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €15 000 під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €225. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €15 000A = €2252,4% / 12

N = платежів

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €18 000, €37 000, €25 000, €35 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 37 000CF₃ = 25 000CF₄ = 35 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €14 000, €7 500, €8 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 7 500CF₃ = 8 000

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 4 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 019, коли дохідність до погашення становить 2,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 4P = €1 019YTM = 2,5%

c = %

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 8 років і продається за €905. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 4%n = 8P = €905

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,2. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 21%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 1D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1,5T = 21%r_f = 1,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 16, 51, 38, 36, 32.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 460?

μ = 500σ = 50x = 460

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,15, 0,3, 0,2

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 10 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 10p = 0,1

P =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 240,25 і 251 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 240,25x₂ = 251

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

15.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 11. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?

95%n₁ = 36E₁ = 1190%

E₂ =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 30 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 2,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 29 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 16,047 і 2,5 % — вище від 45,722.

n = 30s = 2,6 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 498,2 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,2s = 8n = 100

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 12E = 2,595%

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 21?

n = 6ŷ = 21

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 18693 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3769)/0,05 = 12,46

Теперішня вартість

PV = 1 500·12,46 = €18 693,32

Відповідь

PV = €18 693,32

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 72 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,002/225 = 0,8667

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,8667)/ln(1,002) = 71,62

Округлення вгору до повних платежів

Після 71 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 72

Відповідь

N = 72 платежів

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 21248 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 18 000/1,07 = 16 822,43

CF₂/(1 + 0,07)² = 37 000/1,145 = 32 317,23

CF₃/(1 + 0,07)³ = 25 000/1,225 = 20 407,45

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 35 000/1,311 = 26 701,33

Додайте

NPV = €21 248,44

Відповідь

NPV = €21 248,44

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 25,36 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(25%) = 96,00

NPV(30%) = −1 151,57

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 25 + 5·96,00/(96,00 − (−1 151,57)) = 25,38%

точно: NPV(25,36%) = 0 → IRR = 25,36%

Відповідь

IRR = 25,36%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 3,005 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,025)⁻⁴ = €905,95

Купон

C = (1019 − 905,95)/3,762 = €30,05

Купонна ставка

c = 30,05/1000 = 3,005%

Відповідь

c = 3,005%

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 5,5 %

Рівняння для дохідності

€905 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Чисельний розв’язок

P(5%) = €935,37, P(6%) = €875,80

YTM = 5,5%

Відповідь

YTM = 5,5%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,136 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·12% + 0,6·3%·(1 − 0,258) = 6,136%

Відповідь

WACC = 6,136%

8.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 13,76 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 1/(1 + 0,79·0,2) = 0,8636

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 0,8636·(1 + 0,79·1,5) = 1,887

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,887·6,5% = 13,76%

Відповідь

r_e = 13,76%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 12,6

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 173/5 = 34,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−18,6)² + 16,4² + 3,4² + 1,4² + (−2,6)² = 635,2

Стандартне відхилення

s = √(635,2/4) = 12,6

Відповідь

s = 12,6

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,364

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,7

Дисперсія

Var(X) = 6,7 − 2,2² = 1,86

σ = √1,86 = 1,364

Відповідь

σ = 1,364

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,7361

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,9¹⁰ = 0,3487

P(X = 1) = 10·0,1·0,9⁹ = 0,3874

Додайте

P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361

Відповідь

P = 0,7361

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5537

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (240,25 − 250)/5 = −1,95

z₂ = (251 − 250)/5 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−1,95) = 0,5793 − 0,02559 = 0,5537

Відповідь

P = 0,5537

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 187 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Відповідь

x = 186,97 cm

15.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 9,232

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393

Нова похибка

E₂ = 11·0,8393 = 9,232

Відповідь

E₂ = 9,232

16.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 3,495 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 29·2,6² = 196

Межі для σ²

196/45,722 = 4,288

196/16,047 = 12,22

Межа для σ

σ = √12,22 = 3,495 µm

Відповідь

σ = 3,495 µm

95 % інтервал для σ: [2,071, 3,495] µm.

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,25

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерію

t = (498,2 − 500)/0,8 = −2,25

Відповідь

t = −2,25

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 89

Виразіть n

n = (1,96·12/2,5)² = 88,51

Округліть угору

n = 89

Відповідь

n = 89

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9972

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 194/6 = 32,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1091

Коефіцієнт детермінації

r² = 276²/(70·1091) = 0,9972

Відповідь

r² = 0,9972

Близько 99,72% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,444

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 147/6 = 24,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31,5

Лінія регресії

b = −31,5/17,5 = −1,8

a = 24,5 − (−1,8)·3,5 = 30,8

ŷ = 30,8 − 1,8·x

Розв’яжіть щодо x

x = (21 − 30,8)/(−1,8) = 5,444

Відповідь

x = 5,444

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income