Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €5 000i = 6%n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €150 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 30 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €150 0004,2% / 12N = 360
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €27 000, €16 000, €31 000, €27 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 000, €6 000, €5 000, €5 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 7%YTM = 9%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 3 років і продається за €945. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 3P = €945
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €46,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 10,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 50,4?
μ = 60σ = 8x = 50,4
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,15, 0,25, 0,2
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,25 і €40 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €2€10: p = 0,25€40: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 26 і 43,1 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 32σ = 6x1 = 26x2 = 43,1
P =
14.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 15% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 30 елементів має середнє 78,5 і стандартне відхилення s = 16,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 30x̄ = 78,5s = 16,599%t(29) = 2,756
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 18 ділянок, середній урожай 34 kg, стандартне відхилення 1 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 36 kg, стандартне відхилення 9,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 106,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 10 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 110,2 mm, відоме стандартне відхилення 13 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 83,6. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 80μ = 83,6σ = 10n = 25α = 0,10
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 27). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 27)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 17326 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7921)/0,06 = 3,465
Теперішня вартість
PV = 5 000·3,465 = €17 325,53
Відповідь
PV = €17 325,53
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 733,5 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·30 = 360
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,2843
A = 150 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €733,53
Відповідь
A = €733,53
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 4501 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 27 000/1,1 = 24 545,45
CF2/(1 + 0,1)2 = 16 000/1,21 = 13 223,14
CF3/(1 + 0,1)3 = 31 000/1,331 = 23 290,76
CF4/(1 + 0,1)4 = 27 000/1,464 = 18 441,36
Додайте
NPV = €4 500,72
Відповідь
NPV = €4 500,72
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 23,14 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
5 000·1,063 = 5 955,08
6 000·1,062 = 6 741,60
5 000·1,061 = 5 300,00
5 000·1,060 = 5 000,00
TV = 22 996,68
MIRR
MIRR = (22 996,68/10 000)1/4 − 1 = 23,14%
Відповідь
MIRR = 23,14%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 934 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €35,00, i = 0,045, N = 8
Теперішня вартість купонів
€35,00·(1 − 0,7032)/0,045 = €230,86
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7032 = €703,19
Ціна
P = €934,04
Відповідь
P = €934,04
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 5,02 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(5%) = €945,54, P(6%) = €919,81
YTM = 5,02%
Відповідь
YTM = 5,02%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,76 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·8% + 0,2308·3,5%·(1 − 0,25) = 6,76%
Відповідь
WACC = 6,76%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,48 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Відповідь
P = 0,8849
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,532
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 8 (p = 0,25), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,7)
Математичне сподівання
E(G) = 8·0,25 + 38·0,05 − 2·0,7 = 2,5 €
Відповідь
E(G) = 2,5 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8092
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (26 − 32)/6 = −1
z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85
Площа між
P = Φ(1,85) − Φ(−1) = 0,9678 − 0,1587 = 0,8092
Відповідь
P = 0,8092
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 170,7 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,15
z з таблиці
z ≈ −1,04
Назад до початкових одиниць
x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm
Відповідь
x = 170,7 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 70,2
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Похибка оцінки
E = 2,756·16,5/√30 = 8,302
Інтервал
78,5 ± 8,302 → [70,2, 86,8]
Відповідь
нижня межа = 70,2
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −6,56 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (17·1² + 7·9,5²)/24 = 27,03
sp = 5,199
Похибка оцінки
E = 2,064·5,199·√(1/18 + 1/8) = 4,56
Інтервал
−2 ± 4,56 → [−6,56, 2,56]
Відповідь
нижня межа = −6,56 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,723
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(10²/40 + 13²/80) = √4,613 = 2,148
Статистика критерію
z = (106,5 − 110,2)/2,148 = −1,723
Відповідь
z = −1,723
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 30,22 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 + 1,282·2 = 82,56
z при справжньому середньому
z = (82,56 − 83,6)/2 = −0,518
Помилка другого роду
потужність = P(Z > −0,518) = 69,78%
β = 100% − 69,78% = 30,22%
Відповідь
β = 30,22%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9961
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1923 − 36·277/6 = 261
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 13769 − 277²/6 = 980,8
Коефіцієнт кореляції
r = 261/√(70·980,8) = 0,9961
Відповідь
r = 0,9961
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,986
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.