Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 18 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €8 000i = 6%n = 18
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €20 000 під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €325. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €20 000A = €3254,8% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €21 000 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €12 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €60 000CF = €21 000S = €12 000n = 3r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 500, €4 500, €7 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 4 500CF3 = 7 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 10 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3,5% до 4,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 6%n = 10y1 = 3,5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 4 років і продається за €930. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 4P = €930
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 2 має необхідну дохідність 13%. Безризикова ставка 2%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 2re = 13%rf = 2%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 2 000 000 акцій, що торгуються за €12,50; балансова вартість її власного капіталу €15 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,10 на акцію, і дивіденди зростають на 3% на рік. Її борг має ринкову вартість €7 500 000 і вартість до оподаткування 4%. Ставка податку 30%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 90?
μ = 100σ = 5x = 90
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 4 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
4 / 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €30 з імовірністю 0,1 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€30: p = 0,1€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0418. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,0418
z =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 80% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 119 і стандартне відхилення s = 8. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 119s = 899%t(8) = 3,355
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 10. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?
σ = 10E = 299%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
10 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 1,2, стандартне відхилення різниць 2,1. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 1,2sd = 2,1
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 8. Насправді середнє дорівнює 102,6. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 100μ = 102,6σ = 8n = 64α = 0,01
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 42Σy = 173Σx² = 364Σy² = 6127Σxy = 1492
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 86621 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3503)/0,06 = 10,83
Теперішня вартість
PV = 8 000·10,83 = €86 620,83
Відповідь
PV = €86 620,83
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 71 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,004/325 = 0,7538
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,7538)/ln(1,004) = 70,78
Округлення вгору до повних платежів
Після 70 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 71
Відповідь
N = 71 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 3645 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
21 000·2,577 = 54 119,04
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
12 000/1,26 = 9 525,99
NPV
NPV = −60 000 + 54 119,04 + 9 525,99 = €3 645,02
Відповідь
NPV = €3 645,02
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 35,96 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 129,05
NPV(40%) = −510,20
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 35 + 5·129,05/(129,05 − (−510,20)) = 36,01%
точно: NPV(35,96%) = 0 → IRR = 35,96%
Відповідь
IRR = 35,96%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −89,22 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€930 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(6%) = €930,70, P(7%) = €898,38
YTM = 6,021%
Відповідь
YTM = 6,021%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 7,5 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (13% − 2%)/2 = 5,5%
Ринкова дохідність
rm = 2% + 5,5% = 7,5%
Відповідь
rm = 7,5%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,926 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,1091
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
Відповідь
P = 0,1091
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −6 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 20 (p = 0,1), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Математичне сподівання
E(G) = 20·0,1 + 90·0,01 − 10·0,89 = −6 €
Відповідь
E(G) = −6 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,73
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,0418 = 0,9582
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9582 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,73
Відповідь
z = 1,73
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 245,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,2
z з таблиці
z ≈ −0,84
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g
Відповідь
x = 245,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 127,9
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Похибка оцінки
E = 3,355·8/√9 = 8,947
Інтервал
119 ± 8,947 → [110,1, 127,9]
Відповідь
верхня межа = 127,9
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 166
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·10/2)² = 165,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 166
Відповідь
n = 166
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,807
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 2,1/√10 = 0,6641
Статистика критерію
t = 1,2/0,6641 = 1,807
Відповідь
t = 1,807
При df = 9 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,262; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 39,2 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 + 2,326·1 = 102,3
z при справжньому середньому
z = (102,3 − 102,6)/1 = −0,274
Помилка другого роду
потужність = P(Z > −0,274) = 60,8%
β = 100% − 60,8% = 39,2%
Відповідь
β = 39,2%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9952
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1492 − 42·173/6 = 281
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 6127 − 173²/6 = 1139
Коефіцієнт кореляції
r = 281/√(70·1139) = 0,9952
Відповідь
r = 0,9952
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 22
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.