Ви інвестуєте €5 000 під 5 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 2 років.
PV = €5 000r = 5%t = 2
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 15 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1004,8% / 12N = 180
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €8 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 4 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Його грошовий потік становить €12 500 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 8. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €12 500g = 3%n = 8r = 10%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 3%n = 10
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 3 років і продається за €975. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Її WACC 7%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 25%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 2 500 000 акцій по €46,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 10%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 60.
μ = 50σ = 8x = 60
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 6 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
6 / 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 5 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 5p = 0,25
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9109. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9109
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 15 елементів має середнє 89 і стандартне відхилення s = 17. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 15x̄ = 89s = 1799%t(14) = 2,977
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 10,3 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.
n = 20s = 10,3 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 15. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 101,8. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 100σ = 15n = 100x̄ = 101,8H₁: μ > μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 20. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (12, 83). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(12, 83)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 5526 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,05·2 = 0,1
e0,1 = 1,105
Майбутня вартість
FV = 5 000·1,105 = €5 525,85
Відповідь
FV = €5 525,85
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 26287 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 8 000/(0,11 − 0,04) = 114 285,71
NPV
NPV = 114 285,71 − 100 000 = €14 285,71
Відповідь
NPV = €14 285,71
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −26957 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість ануїтету, що зростає
((1,03)/(1,1))8 = 0,591
PV = 12 500/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,591) = 73 043,29
NPV
NPV = 73 043,29 − 100 000 = −€26 956,71
Відповідь
NPV = −€26 956,71
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1429 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,015, N = 20
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €686,75
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7425 = €742,47
Ціна
P = €1 429,22
Відповідь
P = €1 429,22
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 8,987 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€975 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €974,69
YTM = 8,987%
Відповідь
YTM = 8,987%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 9 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Частка боргу у WACC
0,3333·4%·(1 − 0,25) = 1%
Вартість власного капіталу
re = (7% − 1%)/0,6667 = 9%
Відповідь
re = 9%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,94 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (60 − 50)/8 = 1,25
Відповідь
z = 1,25
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,1923
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923
Відповідь
P = 0,1923
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,6328
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,755 = 0,2373
P(X = 1) = 5·0,25·0,754 = 0,3955
Додайте
P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328
Відповідь
P = 0,6328
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,7
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9109)/2 = 0,9554
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9554 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,70
Відповідь
z = 1,70
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 22,13 min
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Відповідь
x = 22,13 min
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 75,93
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Похибка оцінки
E = 2,977·17/√15 = 13,07
Інтервал
89 ± 13,07 → [75,93, 102,1]
Відповідь
нижня межа = 75,93
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 15,04 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 19·10,3² = 2016
Межі для σ²
2016/32,852 = 61,36
2016/8,907 = 226,3
Межа для σ
σ = √226,3 = 15,04 µm
Відповідь
σ = 15,04 µm
95 % інтервал для σ: [7,833, 15,04] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,1151
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5
z = (101,8 − 100)/1,5 = 1,2
Площа хвоста
Φ(1,2) = 0,8849
1 − Φ(1,2) = 0,1151
p-значення
p = 0,1151
Відповідь
p = 0,1151
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 271
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 1,645)·20/4)² = 270,6
Округліть угору
n = 271
Відповідь
n = 271
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,996
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 494/6 = 82,33
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2249
Коефіцієнт детермінації
r² = 396²/(70·2249) = 0,996
Відповідь
r² = 0,996
Близько 99,6% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,3
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.