Через 9 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0003% / 12n = 9
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €200 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 20 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €200 0005,4% / 12N = 240
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €35 000, €34 000, €34 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €33 500 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 6. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €33 500g = 5%n = 6r = 12%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 3%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €1 100 з дохідністю до погашення 5% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 3,6 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 100 базисних пунктів.
P0 = €1 100y = 5%D = 3,6Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
Компанія має 2 000 000 акцій, що торгуються за €13,00; балансова вартість її власного капіталу €15 600 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,00 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €20 800 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 82?
μ = 70σ = 20x = 82
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 9 осіб? Порядок не має значення.
n = 9k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?
n = 6p = 0,3k = 1
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 169,95 і 181,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 169,95x2 = 181,85
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 200 спостережень?
99%n₁ = 100E₁ = 2n₂ = 200
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 4. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 4E = 0,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 80; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 10. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 83,96. Перевірте H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 80σ = 10n = 25x̄ = 83,96H₁: μ > μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 40 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 30 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 40n₁ = 200x₂ = 30n₂ = 250
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 21?
n = 6ŷ = 21
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 30545 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·9 = 108
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,31 = €30 545,47
Відповідь
PV = €30 545,47
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1365 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·20 = 240
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,3404
A = 200 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 364,50
Відповідь
A = €1 364,50
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 15161 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 35 000/1,07 = 32 710,28
CF2/(1 + 0,07)2 = 34 000/1,145 = 29 696,92
CF3/(1 + 0,07)3 = 34 000/1,225 = 27 754,13
Додайте
NPV = €15 161,32
Відповідь
NPV = €15 161,32
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −46347 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1069 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,015, N = 10
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,8617)/0,015 = €207,50
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8617 = €861,67
Ціна
P = €1 069,17
Відповідь
P = €1 069,17
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1062 €
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 3,6/1,05 = 3,429
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −3,429·(0,01) = −3,429%
P ≈ 1100·(1 − 0,03429) = €1 062,29
Відповідь
P = €1 062,29
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,3 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 8,3%
Відповідь
WACC = 8,3%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,932 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Відповідь
P = 0,2743
11.Імовірність
Відповідь: N = 84
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84
Відповідь
N = 84
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,3025
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 1) = 6·0,31·0,75 = 6·0,3·0,1681 = 0,3025
Відповідь
P = 0,3025
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,5838
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15
z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55
Площа між
P = Φ(0,55) − Φ(−1,15) = 0,7088 − 0,1251 = 0,5838
Відповідь
P = 0,5838
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Відповідь
P = 0,7389
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 1,414
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/200) = 0,7071
Нова похибка
E₂ = 2·0,7071 = 1,414
Відповідь
E₂ = 1,414
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 246
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·4/0,5)² = 245,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 246
Відповідь
n = 246
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,02385
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (83,96 − 80)/2 = 1,98
Площа хвоста
Φ(1,98) = 0,9761
1 − Φ(1,98) = 0,0239
p-значення
p = 0,02385
Відповідь
p = 0,02385
p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,327
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 40/200 = 0,2
p̂₂ = 30/250 = 0,12
p̂ = 70/450 = 0,1556
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,1556·0,8444·(1/200 + 1/250)) = 0,03438
Статистика критерію
z = (0,2 − 0,12)/0,03438 = 2,327
Відповідь
z = 2,327
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9847
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 83/5 = 16,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37
Syy = Σ(y − ȳ)² = 141,2
Коефіцієнт кореляції
r = −37/√(10·141,2) = −0,9847
Відповідь
r = −0,9847
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 1,556
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.