Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 6 років.
PV = €5 0004,8% / 4n = 6
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €3 000 на початку кожного року протягом 14 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 14? Знайдіть FV.
A = €3 000i = 4%n = 14
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €5 000 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує сьогодні €50 000. Його грошовий потік становить €9 000 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 6. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €50 000CF1 = €9 000g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 6%n = 10
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 15 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%) продається за €1 104. Емітент може достроково викупити її через 3 років за ціною викупу €1 060. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 6%P = €1 104ціна викупу = €1 060дострокове погашення через 3 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €35,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 108,2 s. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 108,2 s
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 75%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 79,5 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 79,5s = 4,590%t(8) = 1,86
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 17. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 17E = 0,590%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
9 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −8,28, стандартне відхилення різниць 10,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = −8,28sd = 10,8
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 77. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 80μ = 77σ = 15n = 100α = 0,10
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 23.
n = 5x = 23
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 6657 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,04)14 − 1)/0,04 = 18,29
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 3 000·18,29·1,04 = €57 070,76
Відповідь
FV = €57 070,76
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 4,716 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 5 000/1,06 = 4 716,98 → Σ = 4 716,98
рік 2: 5 000/1,124 = 4 449,98 → Σ = 9 166,96
рік 3: 5 000/1,191 = 4 198,10 → Σ = 13 365,06
рік 4: 5 000/1,262 = 3 960,47 → Σ = 17 325,53
рік 5: 5 000/1,338 = 3 736,29 → Σ = 21 061,82
Частка останнього року
DPB = 4 + 2 674,47/3 736,29 = 4,716
Відповідь
DPB = 4,716 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (4 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −6161 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість ануїтету, що зростає
((1,05)/(1,1))6 = 0,7564
PV = 9 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,7564) = 43 839,17
NPV
NPV = 43 839,17 − 50 000 = −€6 160,83
Відповідь
NPV = −€6 160,83
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 776,8 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,03, N = 20
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,5537)/0,03 = €223,16
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5537 = €553,68
Ціна
P = €776,84
Відповідь
P = €776,84
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 4,16 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1104 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Чисельний розв’язок
y = 4%: €1 108,84
y = 5%: €1 079,06
YTC = 4,16%
Відповідь
YTC = 4,16%
Дохідність до погашення 4,998%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,393 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,26
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 22,5, Var(X) = 138,8, σX = 11,78
Лінійна зміна
σY = |3|·11,78 = 35,34
Відповідь
σY = 35,34
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·22,5 + 4 = 71,5.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,3085
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Стандартизуйте
z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Відповідь
P = 0,3085
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 71,75 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Назад до x
x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 балів
Відповідь
x = 71,75 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 82,29
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Похибка оцінки
E = 1,86·4,5/√9 = 2,79
Інтервал
79,5 ± 2,79 → [76,71, 82,29]
Відповідь
верхня межа = 82,29
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 3129
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·17/0,5)² = 3128
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 3129
Відповідь
n = 3129
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 10,8/√9 = 3,6
Статистика критерію
t = −8,28/3,6 = −2,3
Відповідь
t = −2,3
При df = 8 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,306; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 23,64 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 80 − 1,282·1,5 = 78,08
z при справжньому середньому
z = (78,08 − 77)/1,5 = 0,718
Помилка другого роду
потужність = P(Z < 0.718) = 76.36%
β = 100% − 76,36% = 23,64%
Відповідь
β = 23,64%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9908
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 3493 − 36·517/6 = 391
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 46773 − 517²/6 = 2225
Коефіцієнт кореляції
r = 391/√(70·2225) = 0,9908
Відповідь
r = 0,9908
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 72,45
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.