Через 2 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0003,6% / 12n = 2
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 10 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1002,4% / 12N = 120
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €14 000, €11 000, €14 000, €11 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 000, €7 500, €7 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 7 500CF3 = 7 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 5,5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% двома піврічними платежами й погашається через 9 років. Вона продається за €1 300. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 8% (2×)n = 9P = €1 300
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,5. Вартість власного капіталу 13%, вартість боргу до оподаткування 7%, а ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,5re = 13%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 4 000 000 акцій, що торгуються за €27,50; балансова вартість її власного капіталу €44 000 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,60 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €88 000 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 162,5?
μ = 170σ = 5x = 162,5
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €9 з імовірністю 0,25 і €30 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€9: p = 0,25€30: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 34 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 34 min
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 15 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −8,3 і стандартне відхилення 1,3. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 15d̄ = −8,3sd = 1,399%t(14) = 2,977
E = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 33. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?
σ = 33E = 390%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 121,7 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 121,7s = 8n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 11. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 37225 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·2 = 24
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,075 = €37 225,25
Відповідь
PV = €37 225,25
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 13547 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 14 000/1,15 = 12 173,91
CF2/(1 + 0,15)2 = 11 000/1,322 = 8 317,58
CF3/(1 + 0,15)3 = 14 000/1,521 = 9 205,23
CF4/(1 + 0,15)4 = 11 000/1,749 = 6 289,29
Додайте
NPV = €−9 013,99
Відповідь
NPV = €−9 013,99
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 45,01 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(45%) = 1,23
NPV(50%) = −592,59
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 45 + 5·1,23/(1,23 − (−592,59)) = 45,01%
точно: NPV(45,01%) = 0 → IRR = 45,01%
Відповідь
IRR = 45,01%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 894,6 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,0275, N = 18
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,6137)/0,0275 = €280,98
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6137 = €613,66
Ціна
P = €894,63
Відповідь
P = €894,63
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 3,998 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, N = 18
Чисельний розв’язок
i = 1,999% за півроку
YTM
YTM = 2·1,999% = 3,998%
Відповідь
YTM = 3,998%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,53 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·13% + 0,3333·7%·(1 − 0,2) = 10,53%
Відповідь
WACC = 10,53%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,185 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Відповідь
P = 0,9332
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,128
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,85
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,25
Дисперсія
Var(X) = 9,25 − 2,85² = 1,128
Відповідь
Var(X) = 1,128
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −0,15 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 6 (p = 0,25), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,73)
Математичне сподівання
E(G) = 6·0,25 + 27·0,02 − 3·0,73 = −0,15 €
Відповідь
E(G) = −0,15 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,2119
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (34 − 32)/2,5 = 0,8
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 466,3 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Назад до x
x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h
Відповідь
x = 466,34 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 0,9993 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 14, t = 2,977
Похибка оцінки
E = 2,977·1,3/√15 = 0,9993
Відповідь
E = 0,9993 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 328
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·33/3)² = 327,4
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 328
Відповідь
n = 328
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,125
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Статистика критерію
t = (121,7 − 120)/0,8 = 2,125
Відповідь
t = 2,125
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 394
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,282)·11/2)² = 393,8
Округліть угору
n = 394
Відповідь
n = 394
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9229
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 50/5 = 10
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Syy = Σ(y − ȳ)² = 118
Коефіцієнт детермінації
r² = 66²/(40·118) = 0,9229
Відповідь
r² = 0,9229
Близько 92,29% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 16,67
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.