Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 5 років.
PV = €3 0006% / 4n = 5
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €25 0007,2% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €12 000, €9 000, €9 000, €14 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €25 500, €15 500, €22 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 15 500CF3 = 22 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% двома піврічними платежами й погашається через 6 років. Вона продається за €726. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 3% (2×)n = 6P = €726
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €18,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 82?
μ = 100σ = 12x = 82
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 7 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
7 / 6
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €12 з імовірністю 0,3 і €30 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €3€12: p = 0,3€30: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 8 з них менша за 200,7 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 200.7 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 7 елементів має середнє 81 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 7x̄ = 81s = 1090%t(6) = 1,943
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 5,5 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.
n = 10s = 5,5 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 114 mm, відоме стандартне відхилення лінії 14 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 120,5 mm, відоме стандартне відхилення 14 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
У випробуванні одужують 68 з 150 пацієнтів, які отримували лікування A, і 43 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 68n₁ = 150x₂ = 43n₂ = 80
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 130Σx² = 55Σy² = 3430Σxy = 368
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 28). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 28)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 4041 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8063
A = 25 000·0,006/(1 − 0,8063) = €774,22
Відповідь
A = €774,22
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 4671 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 12 000/1,1 = 10 909,09
CF2/(1 + 0,1)2 = 9 000/1,21 = 7 438,02
CF3/(1 + 0,1)3 = 9 000/1,331 = 6 761,83
CF4/(1 + 0,1)4 = 14 000/1,464 = 9 562,19
Додайте
NPV = €4 671,13
Відповідь
NPV = €4 671,13
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 27,77 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 1 584,00
NPV(30%) = −1 199,36
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,04, N = 14
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €264,08
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5775 = €577,48
Ціна
P = €841,55
Відповідь
P = €841,55
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 9,012 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, N = 12
Чисельний розв’язок
i = 4,506% за півроку
YTM
YTM = 2·4,506% = 9,012%
Відповідь
YTM = 9,012%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,16 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·12% + 0,4·7%·(1 − 0,3) = 9,16%
Відповідь
WACC = 9,16%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,188 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€18,50 = €37 000 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 0,9·4% = 7,6%
Ваги
V = €42 100 000, E/V = 0,8789, D/V = 0,1211
WACC
WACC = 0,8789·7,6% + 0,1211·6%·(1 − 0,3) = 7,188%
Відповідь
WACC = 7,188%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 16,25
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Відповідь
P = 0,9332
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2692
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692
Відповідь
P = 0,2692
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 1,2 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 9 (p = 0,3), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)
Математичне сподівання
E(G) = 9·0,3 + 27·0,02 − 3·0,68 = 1,2 €
Відповідь
E(G) = 1,2 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6879
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 200 kg, σT = 0,5·√8 = 1,414 kg
Стандартизуйте
z = (200,7 − 200)/1,414 = 0,49
Імовірність
P = Φ(0,49) = 0,6879
Відповідь
P = 0,6879
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 134,9 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Назад до x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 балів
Відповідь
x = 134,89 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 7,344
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Похибка оцінки
E = 1,943·10/√7 = 7,344
Відповідь
E = 7,344
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 10,04 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 9·5,5² = 272,3
Межі для σ²
272,3/19,023 = 14,31
272,3/2,7 = 100,8
Межа для σ
σ = √100,8 = 10,04 µm
Відповідь
σ = 10,04 µm
95 % інтервал для σ: [3,783, 10,04] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,482
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(14²/100 + 14²/40) = √6,86 = 2,619
Статистика критерію
z = (114 − 120,5)/2,619 = −2,482
Відповідь
z = −2,482
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,217
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 68/150 = 0,4533
p̂₂ = 43/80 = 0,5375
p̂ = 111/230 = 0,4826
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,4826·0,5174·(1/150 + 1/80)) = 0,06918
Статистика критерію
z = (0,4533 − 0,5375)/0,06918 = −1,217
Відповідь
z = −1,217
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9839
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 368 − 15·130/5 = −22
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 3430 − 130²/5 = 50
Коефіцієнт кореляції
r = −22/√(10·50) = −0,9839
Відповідь
r = −0,9839
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 5,29
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.