Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 6 років. Процентна ставка 4 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €5 000i = 4%n = 6
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €20 0007,2% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €12 000, €21 000, €18 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €28 500, €32 000, €31 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 28 500CF2 = 32 000CF3 = 31 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 5,5%n = 10
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% двома піврічними платежами й погашається через 11 років. Вона продається за €1 076. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 8% (2×)n = 11P = €1 076
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,9 має необхідну дохідність 5,5%. Безризикова ставка 1%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,9re = 5,5%rf = 1%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Акції компанії мають бету 1,2 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,75. Ставка податку 21%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 5,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 49 і 85 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 65σ = 10x1 = 49x2 = 85
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 89 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 95,5 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Діаметри 15 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 11,3 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 14 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 5,629 і 2,5 % — вище від 26,119.
n = 15s = 11,3 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 8 студентів, середній бал 67, стандартне відхилення 10. Група 2: 8 студентів, середній бал 63,7, стандартне відхилення 2,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 8x̄₁ = 67s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 63,7s₂ = 2,5
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 81 вимірювань має середнє 99,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 99,1σ = 8n = 8190%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 31). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 31)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 26211 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7903)/0,04 = 5,242
Теперішня вартість
PV = 5 000·5,242 = €26 210,68
Відповідь
PV = €26 210,68
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 480,8 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,7504
A = 20 000·0,006/(1 − 0,7504) = €480,78
Відповідь
A = €480,78
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −19733 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 12 000/1,12 = 10 714,29
CF2/(1 + 0,12)2 = 21 000/1,254 = 16 741,07
CF3/(1 + 0,12)3 = 18 000/1,405 = 12 812,04
Додайте
NPV = €−19 732,60
Відповідь
NPV = €−19 732,60
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 36,86 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 1 269,12
NPV(40%) = −2 018,95
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,0275, N = 20
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €304,55
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5813 = €581,25
Ціна
P = €885,80
Відповідь
P = €885,80
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,998 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, N = 22
Чисельний розв’язок
i = 3,499% за півроку
YTM
YTM = 2·3,499% = 6,998%
Відповідь
YTM = 6,998%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 6 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (5,5% − 1%)/0,9 = 5%
Ринкова дохідність
rm = 1% + 5% = 6%
Відповідь
rm = 6%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 11,78 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,2/(1 + 0,79·0,25) = 1,002
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,002·(1 + 0,79·0,75) = 1,596
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,596·5,5% = 11,78%
Відповідь
re = 11,78%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 14,4
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,3
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,75, Var(X) = 1,188, σX = 1,09
Лінійна зміна
σY = |10|·1,09 = 10,9
Відповідь
σY = 10,9
Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·2,75 + 1 = 28,5.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9225
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (49 − 65)/10 = −1,6
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
Площа між
P = Φ(2) − Φ(−1,6) = 0,9772 − 0,0548 = 0,9225
Відповідь
P = 0,9225
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 434,2 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h
Відповідь
x = 434,2 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,294 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 89 − 95,5 = −6,5
Стандартна похибка
SE = √(20²/100 + 15²/80) = 2,61
Похибка оцінки
E = 1,645·2,61 = 4,294
Відповідь
E = 4,294 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 8,273 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 14·11,3² = 1788
Межі для σ²
1788/26,119 = 68,44
1788/5,629 = 317,6
Межа для σ
σ = √68,44 = 8,273 µm
Відповідь
σ = 8,273 µm
95 % інтервал для σ: [8,273, 17,82] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,9055
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (7·10² + 7·2,5²)/14 = 53,13
sp = 7,289
Стандартна похибка
SE = 7,289·√(1/8 + 1/8) = 3,644
Статистика критерію
t = (67 − 63,7)/3,644 = 0,9055
Відповідь
t = 0,9055
При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 97,64
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·8/√81 = 1,462
Межа інтервалу
L = 99,1 − 1,462 = 97,64
Відповідь
L = 97,64
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9679
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 271/6 = 45,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211
Syy = Σ(y − ȳ)² = 678,8
Коефіцієнт кореляції
r = 211/√(70·678,8) = 0,9679
Відповідь
r = 0,9679
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 3,5
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.