Ви інвестуєте €2 000 під 4 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 11 років.
PV = €2 000r = 4%t = 11
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 21 років. Рахунок дає 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €3003% / 12N = 252
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €8 000, €7 000, €6 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €10 000 приносить €1 500 наприкінці кожного року протягом 8 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €10 000CF = €1 500n = 8
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 6 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 8%n = 6
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% двома піврічними платежами й погашається через 10 років. Вона продається за €929. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 6% (2×)n = 10P = €929
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Її WACC 8,58%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,7. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Ставка податку 20%, безризикова ставка 1%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 90?
μ = 70σ = 20x = 90
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?
n = 10p = 0,1k = 1
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 202,7 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 202,7 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 10% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів10%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 11 елементів має середнє 71,5 і стандартне відхилення s = 20. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 11x̄ = 71,5s = 2099%t(10) = 3,169
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 11 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 7,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 10 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 3,247 і 2,5 % — вище від 20,483.
n = 11s = 7,9 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 8 студентів, середній бал 86, стандартне відхилення 4,5. Група 2: 14 студентів, середній бал 74, стандартне відхилення 9. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 8x̄₁ = 86s₁ = 4,5n₂ = 14x̄₂ = 74s₂ = 9
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 86,5. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 80μ = 86,5σ = 20n = 64α = 0,01
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 3105 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,04·11 = 0,44
e0,44 = 1,553
Майбутня вартість
FV = 2 000·1,553 = €3 105,41
Відповідь
FV = €3 105,41
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 105136 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 8 000/1,1 = 7 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 6 000/1,331 = 4 507,89
Додайте
NPV = €−2 434,26
Відповідь
NPV = €−2 434,26
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 4,239 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−8)/i = 10 000/1 500 = 6,667
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 4%: 6,733
i = 5%: 6,463
IRR = 4,239%
Відповідь
IRR = 4,239%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 718,4 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, i = 0,04, N = 12
Теперішня вартість купонів
€10,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €93,85
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6246 = €624,60
Ціна
P = €718,45
Відповідь
P = €718,45
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,999 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, N = 20
Чисельний розв’язок
i = 3,5% за півроку
YTM
YTM = 2·3,5% = 6,999%
Відповідь
YTM = 6,999%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
Частка боргу у WACC
0,375·4%·(1 − 0,28) = 1,08%
Вартість власного капіталу
re = (8,58% − 1,08%)/0,625 = 12%
Відповідь
re = 12%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 5,41 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 0,7·(1 + 0,8·0,5) = 0,98
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1% + 0,98·4,5% = 5,41%
Відповідь
re = 5,41%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 9,985
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
11.Імовірність
Відповідь: σ = 2,569
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 1) = 10·0,11·0,99 = 10·0,1·0,3874 = 0,3874
Відповідь
P = 0,3874
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,1562
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 200 g, σT = 1,2·√5 = 2,683 g
Стандартизуйте
z = (202,7 − 200)/2,683 = 1,01
Імовірність
P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562
Відповідь
P = 0,1562
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 77,8 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,9
z з таблиці
z ≈ 1,28
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 1,28·10 = 77,8 балів
Відповідь
x = 77,8 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 19,11
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Похибка оцінки
E = 3,169·20/√11 = 19,11
Відповідь
E = 19,11
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 13,86 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 10·7,9² = 624,1
Межі для σ²
624,1/20,483 = 30,47
624,1/3,247 = 192,2
Межа для σ
σ = √192,2 = 13,86 µm
Відповідь
σ = 13,86 µm
95 % інтервал для σ: [5,52, 13,86] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 3,503
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (7·4,5² + 13·9²)/20 = 59,74
sp = 7,729
Стандартна похибка
SE = 7,729·√(1/8 + 1/14) = 3,426
Статистика критерію
t = (86 − 74)/3,426 = 3,503
Відповідь
t = 3,503
При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 39,2 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 80 + 2,326·2,5 = 85,81
z при справжньому середньому
z = (85,81 − 86,5)/2,5 = −0,274
Помилка другого роду
потужність = P(Z > −0,274) = 60,8%
β = 100% − 60,8% = 39,2%
Відповідь
β = 39,2%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9915
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1810 − 25·322/5 = 200
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 21754 − 322²/5 = 1017
Коефіцієнт кореляції
r = 200/√(40·1017) = 0,9915
Відповідь
r = 0,9915
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 12,51
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.