Ви інвестуєте €8 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 8 років.
PV = €8 0004,8% / 4n = 8
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €20 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт A коштує €40 000 і приносить €23 000, €15 500, €8 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €42 000 і приносить €12 500, €16 000, €22 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 7%YTM = 5%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 5 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 5P = €1 060
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €8 000 000 і вартістю власного капіталу 13%. Її борг складається з 5 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 4 років до погашення), кожна з яких торгується за €982. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 195.
μ = 170σ = 20x = 195
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 9 осіб? Порядок не має значення.
n = 9k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 2X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,2, 0,35, 0,25Y = 2X + 4
σY =
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 759,8 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 759,8 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 11,4. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?
90%n₁ = 64E₁ = 11,495%
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 5,1 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.
n = 10s = 5,1 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 104,3 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 104,3s = 15n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 8E = 2,599%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 17). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 17)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 11718 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,9086
A = 15 000·0,002/(1 − 0,9086) = €328,05
Відповідь
A = €328,05
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,413 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 20 000/1,06 = 18 867,92 → Σ = 18 867,92
рік 2: 20 000/1,124 = 17 799,93 → Σ = 36 667,85
рік 3: 20 000/1,191 = 16 792,39 → Σ = 53 460,24
рік 4: 20 000/1,262 = 15 841,87 → Σ = 69 302,11
Частка останнього року
DPB = 3 + 6 539,76/15 841,87 = 3,413
Відповідь
DPB = 3,413 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 7,22 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 16 000 − 15 500 = 500
ΔCF3 = 22 500 − 8 500 = 14 000
IRR різниці
NPVΔ(7%) = 51,81
NPVΔ(8%) = −179,90
r* = 7,22%
Відповідь
r* = 7,22%
Перевірка: при 7,22% обидві NPV дорівнюють €1 830,07.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1088 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €35,00, i = 0,025, N = 10
Теперішня вартість купонів
€35,00·(1 − 0,7812)/0,025 = €306,32
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7812 = €781,20
Ціна
P = €1 087,52
Відповідь
P = €1 087,52
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,554 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 084,25, P(7%) = €1 041,00
YTM = 6,554%
Відповідь
YTM = 6,554%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,167 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·11% + 0,6667·7%·(1 − 0,25) = 7,167%
Відповідь
WACC = 7,167%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,566 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (195 − 170)/20 = 1,25
Відповідь
z = 1,25
11.Імовірність
Відповідь: N = 84
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84
Відповідь
N = 84
12.Імовірність
Відповідь: σY = 4,247
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,3, Var(X) = 4,51, σX = 2,124
Лінійна зміна
σY = |2|·2,124 = 4,247
Відповідь
σY = 4,247
Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·3,3 + 4 = 10,6.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,1587
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (759,8 − 750)/9,849 = 1
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 473 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Відповідь
x = 473,02 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 13,58
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/64) = 1,191
Нова похибка
E₂ = 11,4·1,191 = 13,58
Відповідь
E₂ = 13,58
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 9,311 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 9·5,1² = 234,1
Межі для σ²
234,1/19,023 = 12,31
234,1/2,7 = 86,7
Межа для σ
σ = √86,7 = 9,311 µm
Відповідь
σ = 9,311 µm
95 % інтервал для σ: [3,508, 9,311] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,72
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Статистика критерію
t = (104,3 − 100)/2,5 = 1,72
Відповідь
t = 1,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 68
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (2,576·8/2,5)² = 67,95
Округліть угору
n = 68
Відповідь
n = 68
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9967
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 587/6 = 97,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 451
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2925
Коефіцієнт кореляції
r = 451/√(70·2925) = 0,9967
Відповідь
r = 0,9967
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,3
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.