Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.
PV = €3 0005% / 4n = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 3 років під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €15 0003,6% / 12N = 36
I = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €60 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €500 000CF1 = €60 000g = 2%r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €15 000, €23 500, €25 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 15 000CF2 = 23 500CF3 = 25 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 3%n = 3
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 5,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 8%n = 4YTM = 5,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 2 має необхідну дохідність 14%. Безризикова ставка 2%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 2re = 14%rf = 2%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 500 000 акцій по €28,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень більша за 600?
μ = 500σ = 100x = 600
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.
n = 10k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 6p = 0,6
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси пасажири з багажем незалежні та нормальні із середнім 85 kg і середнім квадратичним відхиленням 12 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них перевищує 554,1 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 554,1 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 85% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів85%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 74,5 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 82,5 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 21. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 21E = 599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 148 mm, відоме стандартне відхилення лінії 19 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 158,7 mm, відоме стандартне відхилення 17 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 8E = 199%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 54?
n = 6ŷ = 54
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 4692 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,003, N = 36
A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−36) = €440,20
Усього відсотків
I = N·A − P = 36·440,2 − 15 000 = €847,04
Відповідь
I = €847,04
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 100000 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 60 000/(0,12 − 0,02) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Відповідь
NPV = €100 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 24,75 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 3 287,04
NPV(25%) = −160,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,015, N = 6
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €113,94
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,9145 = €914,54
Ціна
P = €1 028,49
Відповідь
P = €1 028,49
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 3,596 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 80/1,055 = 75,83, t·PV = 75,83
t = 2: 80/1,113 = 71,88, t·PV = 143,75
t = 3: 80/1,174 = 68,13, t·PV = 204,39
t = 4: 1080/1,239 = 871,79, t·PV = 3 487,18
Дюрація
P = 1 087,63
D = 3 911,15/1 087,63 = 3,596
Відповідь
D = 3,596 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (14% − 2%)/2 = 6%
Ринкова дохідність
rm = 2% + 6% = 8%
Відповідь
rm = 8%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,876 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
11.Імовірність
Відповідь: N = 120
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120
Відповідь
N = 120
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,04096
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,46 = 0,004096
P(X = 1) = 6·0,6·0,45 = 0,03686
Додайте
P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096
Відповідь
P = 0,04096
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,06681
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29,39 kg
Стандартизуйте
z = (554,1 − 510)/29,39 = 1,5
Імовірність
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Відповідь
P = 0,06681
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 54,6 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,15
z з таблиці
z ≈ −1,04
Назад до початкових одиниць
x = 65 − 1,04·10 = 54,6 балів
Відповідь
x = 54,6 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −10,94 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 74,5 − 82,5 = −8
Стандартна похибка
SE = √(3²/80 + 8²/30) = 1,499
Похибка оцінки
E = 1,96·1,499 = 2,937
Інтервал
−8 ± 2,937 → [−10,94, −5,063]
Відповідь
нижня межа = −10,94 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 118
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·21/5)² = 117,1
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 118
Відповідь
n = 118
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −3,01
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(19²/40 + 17²/80) = √12,64 = 3,555
Статистика критерію
z = (148 − 158,7)/3,555 = −3,01
Відповідь
z = −3,01
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 425
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (2,576·8/1)² = 424,7
Округліть угору
n = 425
Відповідь
n = 425
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,941
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 100/6 = 16,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 119,3
Коефіцієнт кореляції
r = −43/√(17,5·119,3) = −0,941
Відповідь
r = −0,941
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 20,1
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 363/6 = 60,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239
Лінія регресії
b = 239/70 = 3,414
a = 60,5 − 3,414·22 = −14,61
ŷ = −14,61 + 3,414·x
Розв’яжіть щодо x
x = (54 − (−14,61))/3,414 = 20,1
Відповідь
x = 20,1
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.