Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €8 000i = 6%n = 5
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €3003,6% / 12N = 348
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €7 000, €10 000, €9 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €10 000, €11 000, €10 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 11 000CF3 = 10 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 2,5%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 9 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 9P = €935
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Її WACC 9,38%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,2. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 7%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 70.
μ = 100σ = 15x = 70
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.
n = 10k = 5
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,3 і €500 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€50: p = 0,3€500: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них менша за 644,8 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16< 644.8 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 85% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 103,5 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 103,5s = 4,590%t(8) = 1,86
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 87 kg, стандартне відхилення 10 kg. Група ділянок 2: 26 ділянок, середнє 89 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 16 студентів має середній бал 104,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 104,5s = 20n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 21. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (12, 69). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(12, 69)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 33699 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7473)/0,06 = 4,212
Теперішня вартість
PV = 8 000·4,212 = €33 698,91
Відповідь
PV = €33 698,91
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 183612 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 7 000/1,07 = 6 542,06
CF2/(1 + 0,07)2 = 10 000/1,145 = 8 734,39
CF3/(1 + 0,07)3 = 9 000/1,225 = 7 346,68
Додайте
NPV = €−7 376,88
Відповідь
NPV = €−7 376,88
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 26,39 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 416,00
NPV(30%) = −1 019,57
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,0125, N = 22
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,7609)/0,0125 = €286,96
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7609 = €760,87
Ціна
P = €1 047,83
Відповідь
P = €1 047,83
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,998 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €934,85
YTM = 6,998%
Відповідь
YTM = 6,998%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 13 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
Частка боргу у WACC
0,375·4,5%·(1 − 0,258) = 1,252%
Вартість власного капіталу
re = (9,38% − 1,252%)/0,625 = 13%
Відповідь
re = 13%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 15,05 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,2·(1 + 0,75·0,5) = 1,65
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 1,65·7% = 15,05%
Відповідь
re = 15,05%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 22,32
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (70 − 100)/15 = −2
Відповідь
z = −2
11.Імовірність
Відповідь: N = 252
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252
Відповідь
N = 252
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 15 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 40 (p = 0,3), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,68)
Математичне сподівання
E(G) = 40·0,3 + 490·0,02 − 10·0,68 = 15 €
Відповідь
E(G) = 15 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8413
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 640 g, σT = 1,2·√16 = 4,8 g
Стандартизуйте
z = (644,8 − 640)/4,8 = 1
Імовірність
P = Φ(1) = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 185,3 cm
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,85
z з таблиці
z ≈ 1,04
Назад до початкових одиниць
x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm
Відповідь
x = 185,3 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 106,3
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Похибка оцінки
E = 1,86·4,5/√9 = 2,79
Інтервал
103,5 ± 2,79 → [100,7, 106,3]
Відповідь
верхня межа = 106,3
16.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 5,879 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (4·10² + 25·6,5²)/29 = 50,22
sp = 7,086
Похибка оцінки
E = 1,699·7,086·√(1/5 + 1/26) = 5,879
Відповідь
E = 5,879 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,1
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Статистика критерію
t = (104,5 − 120)/5 = −3,1
Відповідь
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 277
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 0,842)·21/4)² = 276,6
Округліть угору
n = 277
Відповідь
n = 277
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9941
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 63/6 = 10,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119
Syy = Σ(y − ȳ)² = 203,5
Коефіцієнт детермінації
r² = 119²/(70·203,5) = 0,9941
Відповідь
r² = 0,9941
Близько 99,41% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 3,967
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 335/6 = 55,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 161
Лінія регресії
b = 161/70 = 2,3
a = 55,83 − 2,3·8 = 37,43
ŷ = 37,43 + 2,3·x
Прогнозоване значення
ŷ = 37,43 + 2,3·12 = 65,03
Залишок
e = 69 − 65,03 = 3,967
Відповідь
e = 3,967
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.