Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €10 000 під 5 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 11 років.

PV = €10 000r = 5%t = 11

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €12 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €275. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €12 000A = €2753,6% / 12

N = платежів

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €21 000, €17 000, €16 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 21 000CF₂ = 17 000CF₃ = 16 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €50 000. Його грошовий потік становить €8 000 наприкінці року 1 і зростає на 2 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €8 000g = 2%n = 7r = 8%

NPV = €

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 13 років і виплачує річні купони. Вона продається за €626, коли дохідність до погашення становить 9%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 13P = €626YTM = 9%

c = %

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 7%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 4%n = 3YTM = 7%

D = роки

7.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Її WACC 9,7%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €10 000 000D = €4 000 000WACC = 9,7%r_d = 5%T = 21%

r_e = %

8.CAPM і WACCСкладна

Компанія має власний капітал ринковою вартістю €5 000 000 і вартістю власного капіталу 10%. Її борг складається з 2 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 5 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 045. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.

E = €5 000 000r_e = 10%облігації: 2 000 × €1 045купон = 5%n = 5T = 28%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 51, 20, 59, 17, 44.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 57,2?

μ = 50σ = 12x = 57,2

P =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,15, 0,35, 0,25, 0,2

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 8p = 0,4k = 2

P =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 111,4 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 7,4 і стандартне відхилення 1,3. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = 7,4s_d = 1,390%t(15) = 1,753

нижня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 26. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 26E = 595%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 122,6 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 122,6s = 15n = 16

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 498,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 498,2σ = 15n = 8199%

U =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 17333 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,05·11 = 0,55

e^0,55 = 1,733

Майбутня вартість

FV = 10 000·1,733 = €17 332,53

Відповідь

FV = €17 332,53

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 47 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,003/275 = 0,8691

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,8691)/ln(1,003) = 46,84

Округлення вгору до повних платежів

Після 46 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 47

Відповідь

N = 47 платежів

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −3364 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 21 000/1,15 = 18 260,87

CF₂/(1 + 0,15)² = 17 000/1,322 = 12 854,44

CF₃/(1 + 0,15)³ = 16 000/1,521 = 10 520,26

Додайте

NPV = €−3 364,43

Відповідь

NPV = €−3 364,43

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −6033 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,02)/(1,08))⁷ = 0,6702

PV = 8 000/(0,08 − 0,02)·(1 − 0,6702) = 43 967,06

NPV

NPV = 43 967,06 − 50 000 = −€6 032,94

Відповідь

NPV = −€6 032,94

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 4,005 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,09)⁻¹³ = €326,18

Купон

C = (626 − 326,18)/7,487 = €40,05

Купонна ставка

c = 40,05/1000 = 4,005%

Відповідь

c = 4,005%

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 2,881 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 40/1,07 = 37,38, t·PV = 37,38

t = 2: 40/1,145 = 34,94, t·PV = 69,88

t = 3: 1040/1,225 = 848,95, t·PV = 2 546,85

Дюрація

P = 921,27

D = 2 654,11/921,27 = 2,881

Відповідь

D = 2,881 роки

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 12 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Частка боргу у WACC

0,2857·5%·(1 − 0,21) = 1,129%

Вартість власного капіталу

r_e = (9,7% − 1,129%)/0,7143 = 12%

Відповідь

r_e = 12%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,899 %

Вартість боргу (YTM)

1045 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 3,989%

Ринкові вартості

D = 2 000·€1 045 = €2 090 000

V = €7 090 000, E/V = 0,7052, D/V = 0,2948

WACC

WACC = 0,7052·10% + 0,2948·3,989%·(1 − 0,28) = 7,899%

Відповідь

WACC = 7,899%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 17,13

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 221/6 = 36,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−6,833)² + 14,17² + (−16,83)² + 22,17² + (−19,83)² + 7,167² = 1467

Стандартне відхилення

s = √(1467/5) = 17,13

Відповідь

s = 17,13

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Відповідь

P = 0,2743

11.Імовірність

Відповідь: σ = 1,114

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,05 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,2 = 2,4

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,2 = 7

Дисперсія

Var(X) = 7 − 2,4² = 1,24

σ = √1,24 = 1,114

Відповідь

σ = 1,114

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,209

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 2) = 28·0,4²·0,6⁶ = 28·0,16·0,04666 = 0,209

Відповідь

P = 0,209

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1587

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 243,6 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Відповідь

x = 243,59 g

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 6,83 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 1,753

Похибка оцінки

E = 1,753·1,3/√16 = 0,5697

Інтервал

7,4 ± 0,5697 → [6,83, 7,97]

Відповідь

нижня межа = 6,83 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 104

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·26/5)² = 103,9

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 104

Відповідь

n = 104

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,6933

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Статистика критерію

t = (122,6 − 120)/3,75 = 0,6933

Відповідь

t = 0,6933

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 502,5

Похибка оцінки

E = 2,576·15/√81 = 4,293

Межа інтервалу

U = 498,2 + 4,293 = 502,5

Відповідь

U = 502,5

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9598

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 77/6 = 12,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 196,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 115²/(70·196,8) = 0,9598

Відповідь

r² = 0,9598

Близько 95,98% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,634

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 153/6 = 25,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20,5

Лінія регресії

b = −20,5/17,5 = −1,171

a = 25,5 − (−1,171)·3,5 = 29,6

ŷ = 29,6 − 1,171·x

Розв’яжіть щодо x

x = (23 − 29,6)/(−1,171) = 5,634

Відповідь

x = 5,634

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income