Кредитна картка нараховує номінальну ставку 17,5 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 17,5%m = 2
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €250 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 18? Знайдіть залишок боргу B.
P = €250 0003,6% / 12N = 300k = 216
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €9 000, €7 000, €8 000, €5 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €22 500, €29 500, €35 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 22 500CF2 = 29 500CF3 = 35 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 6 років і виплачує річні купони. Вона продається за €776, коли дохідність до погашення становить 9%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 6P = €776YTM = 9%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 6 років і продається за €910. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 6P = €910
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €15,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9664. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9664
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 6 елементів має середнє 57 і стандартне відхилення s = 5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 6x̄ = 57s = 590%t(5) = 2,015
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 12 ділянок, середній урожай 64,5 kg, стандартне відхилення 5 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 75 kg, стандартне відхилення 10 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 16 студентів має середній бал 503,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,5s = 20n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 36 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 16 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 16n₂ = 100
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 11). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 11)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 18,27 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,175/2 = 0,0875
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0875)2 − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%
Відповідь
EAR = 18,27%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 93805 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 300 − 216 = 84
B = 1265·(1 − (1 + 0,003)−84)/0,003 = €93 805,31
Відповідь
B = €93 805,31
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 3393 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 9 000/1,1 = 8 181,82
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 8 000/1,331 = 6 010,52
CF4/(1 + 0,1)4 = 5 000/1,464 = 3 415,07
Додайте
NPV = €3 392,53
Відповідь
NPV = €3 392,53
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 31,21 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 921,71
NPV(35%) = −2 718,08
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,09)−6 = €596,27
Купон
C = (776 − 596,27)/4,486 = €40,07
Купонна ставка
c = 40,07/1000 = 4,007%
Відповідь
c = 4,007%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,944 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Чисельний розв’язок
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,944%
Відповідь
YTM = 7,944%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,06 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (75 − 60)/10 = 1,5
Відповідь
z = 1,5
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,1429
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429
Відповідь
P = 0,1429
12.Імовірність
Відповідь: σY = 50,68
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 21,5, Var(X) = 102,8, σX = 10,14
Лінійна зміна
σY = |5|·10,14 = 50,68
Відповідь
σY = 50,68
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·21,5 + 20 = 127,5.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = −1,83
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,9664 = 0,0336
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,0336 усередині таблиці й зчитайте z.
z = −1,83
Відповідь
z = −1,83
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 254,2 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Відповідь
x = 254,21 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,113
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Похибка оцінки
E = 2,015·5/√6 = 4,113
Відповідь
E = 4,113
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = −1,011 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (11·5² + 8·10²)/19 = 56,58
sp = 7,522
Похибка оцінки
E = 2,861·7,522·√(1/12 + 1/9) = 9,489
Інтервал
−10,5 ± 9,489 → [−19,99, −1,011]
Відповідь
верхня межа = −1,011 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Статистика критерію
t = (503,5 − 500)/5 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,434
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 36/120 = 0,3
p̂₂ = 16/100 = 0,16
p̂ = 52/220 = 0,2364
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,2364·0,7636·(1/120 + 1/100)) = 0,05752
Статистика критерію
z = (0,3 − 0,16)/0,05752 = 2,434
Відповідь
z = 2,434
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9394
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 11262 − 132·500/6 = 262
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 42778 − 500²/6 = 1111
Коефіцієнт кореляції
r = 262/√(70·1111) = 0,9394
Відповідь
r = 0,9394
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −5,25
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Лінія регресії
b = −17/10 = −1,7
a = 18,8 − (−1,7)·3 = 23,9
ŷ = 23,9 − 1,7·x
Прогнозоване значення
ŷ = 23,9 + (−1,7)·4,5 = 16,25
Залишок
e = 11 − 16,25 = −5,25
Відповідь
e = −5,25
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.