Через 8 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0005% / 4n = 8
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 24 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 24? Знайдіть FV.
A = €6 000i = 4%n = 24
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €9 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 1%r = 9%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €10 000 і приносить €7 000, €7 000, €4 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 7 000CF3 = 4 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 3%YTM = 2,5%n = 12
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 5,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 6%n = 5YTM = 5,5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,8 має необхідну дохідність 7,4%. Безризикова ставка 3%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,8re = 7,4%rf = 3%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 1 000 000 акцій по €19,00 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 28%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 74,8?
μ = 70σ = 8x = 74,8
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2
σ =
12.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 5X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3Y = 5X + 1
σY =
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 762,3 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 8 елементів має середнє 23,5 і стандартне відхилення s = 19,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 8x̄ = 23,5s = 19,590%t(7) = 1,895
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 13. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 13E = 195%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 81 студентів має середній бал 99,2 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 99,2s = 8n = 81
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 12 з 80 пацієнтів, які отримували лікування A, і 60 з 200 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 60n₂ = 200
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4, 41). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(4, 41)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 13440 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·8 = 32
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,488 = €13 439,68
Відповідь
PV = €13 439,68
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 243875 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,04)24 − 1)/0,04 = 39,08
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 6 000·39,08·1,04 = €243 875,45
Відповідь
FV = €243 875,45
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 12500 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 9 000/(0,09 − 0,01) = 112 500,00
NPV
NPV = 112 500,00 − 100 000 = €12 500,00
Відповідь
NPV = €12 500,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 41,77 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(40%) = 211,37
NPV(45%) = −366,97
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 40 + 5·211,37/(211,37 − (−366,97)) = 41,83%
точно: NPV(41,77%) = 0 → IRR = 41,77%
Відповідь
IRR = 41,77%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1052 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, i = 0,0125, N = 24
Теперішня вартість купонів
€15,00·(1 − 0,7422)/0,0125 = €309,36
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7422 = €742,20
Ціна
P = €1 051,56
Відповідь
P = €1 051,56
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 4,471 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 60/1,055 = 56,87, t·PV = 56,87
t = 2: 60/1,113 = 53,91, t·PV = 107,81
t = 3: 60/1,174 = 51,10, t·PV = 153,29
t = 4: 60/1,239 = 48,43, t·PV = 193,73
t = 5: 1060/1,307 = 811,04, t·PV = 4 055,21
Дюрація
P = 1 021,35
D = 4 566,92/1 021,35 = 4,471
Відповідь
D = 4,471 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 8,5 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (7,4% − 3%)/0,8 = 5,5%
Ринкова дохідність
rm = 3% + 5,5% = 8,5%
Відповідь
rm = 8,5%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,314 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Відповідь
P = 0,2743
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,023
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,45
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3,15
Дисперсія
Var(X) = 3,15 − 1,45² = 1,047
σ = √1,047 = 1,023
Відповідь
σ = 1,023
12.Імовірність
Відповідь: σY = 4,899
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1,8, Var(X) = 0,96, σX = 0,9798
Лінійна зміна
σY = |5|·0,9798 = 4,899
Відповідь
σY = 4,899
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,8 + 1 = 10.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,1056
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Відповідь
P = 0,1056
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7611
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611
Відповідь
P = 0,7611
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 13,06
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Похибка оцінки
E = 1,895·19,5/√8 = 13,06
Відповідь
E = 13,06
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 650
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·13/1)² = 649,2
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 650
Відповідь
n = 650
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Статистика критерію
t = (99,2 − 100)/0,8889 = −0,9
Відповідь
t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,594
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 12/80 = 0,15
p̂₂ = 60/200 = 0,3
p̂ = 72/280 = 0,2571
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,2571·0,7429·(1/80 + 1/200)) = 0,05782
Статистика критерію
z = (0,15 − 0,3)/0,05782 = −2,594
Відповідь
z = −2,594
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,8552
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 20
Коефіцієнт кореляції
r = −16/√(17,5·20) = −0,8552
Відповідь
r = −0,8552
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −2,85
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 235/5 = 47
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Лінія регресії
b = 126/40 = 3,15
a = 47 − 3,15·5 = 31,25
ŷ = 31,25 + 3,15·x
Прогнозоване значення
ŷ = 31,25 + 3,15·4 = 43,85
Залишок
e = 41 − 43,85 = −2,85
Відповідь
e = −2,85
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.