Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €10 000 під 3 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 5 років.

PV = €10 000r = 3%t = 5

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 2? Знайдіть залишок боргу B.

P = €300 0002,4% / 12N = 240k = 24

B = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €22 000, €16 000, €28 000, €15 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 16 000CF₃ = 28 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €21 500, €18 500, €21 500, €27 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 18 500CF₃ = 21 500CF₄ = 27 500

MIRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 8%n = 7

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 8%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 2%n = 5YTM = 8%

D = роки

7.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1. Вартість власного капіталу 9%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 30%. Знайдіть WACC.

D/E = 1r_e = 9%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 1,1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,75. Ставка податку 21%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,75T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 36, 53, 13, 47, 13, 37.

n = 7

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Знайдіть z-оцінку z для результату 350.

μ = 500σ = 100x = 350

z =

11.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 15 осіб? Порядок не має значення.

n = 15k = 2

N =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,4

P =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 98,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

15.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 123,5 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 124,5 h, відоме стандартне відхилення 18 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 123,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 60x̄₂ = 124,5 hσ₂ = 18 h99%

верхня межа = h

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 21. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 21E = 499%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 52,8 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,8s = 12n = 81

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 80,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 80,3σ = 20n = 8195%

L =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 135Σy = 462Σx² = 3195Σy² = 39092Σxy = 11136

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (20, 89). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(20, 89)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 11618 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,03·5 = 0,15

e^0,15 = 1,162

Майбутня вартість

FV = 10 000·1,162 = €11 618,34

Відповідь

FV = €11 618,34

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 276051 €

Щомісячний платіж

i = 0,002, N = 240

A = 300 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻²⁴⁰) = €1 575,13

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 240 − 24 = 216

B = 1575·(1 − (1 + 0,002)⁻²¹⁶)/0,002 = €276 050,53

Відповідь

B = €276 050,53

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 8836 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 22 000/1,07 = 20 560,75

CF₂/(1 + 0,07)² = 16 000/1,145 = 13 975,02

CF₃/(1 + 0,07)³ = 28 000/1,225 = 22 856,34

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 15 000/1,311 = 11 443,43

Додайте

NPV = €8 835,54

Відповідь

NPV = €8 835,54

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 17,92 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

21 500·1,06³ = 25 606,84

18 500·1,06² = 20 786,60

21 500·1,06¹ = 22 790,00

27 500·1,06⁰ = 27 500,00

TV = 96 683,44

MIRR

MIRR = (96 683,44/50 000)^1/4 − 1 = 17,92%

Відповідь

MIRR = 17,92%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 815,1 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €22,50, i = 0,04, N = 14

Теперішня вартість купонів

€22,50·(1 − 0,5775)/0,04 = €237,67

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5775 = €577,48

Ціна

P = €815,15

Відповідь

P = €815,15

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 4,774 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 20/1,08 = 18,52, t·PV = 18,52

t = 2: 20/1,166 = 17,15, t·PV = 34,29

t = 3: 20/1,26 = 15,88, t·PV = 47,63

t = 4: 20/1,36 = 14,70, t·PV = 58,80

t = 5: 1020/1,469 = 694,19, t·PV = 3 470,97

Дюрація

P = 760,44

D = 3 630,22/760,44 = 4,774

Відповідь

D = 4,774 роки

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,075 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 6,075%

Відповідь

WACC = 6,075%

8.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 10,81 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 1,1/(1 + 0,79·0,25) = 0,9186

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 0,9186·(1 + 0,79·0,75) = 1,463

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,463·5% = 10,81%

Відповідь

r_e = 10,81%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 15,63

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 225/7 = 32,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−6,143)² + 3,857² + 20,86² + (−19,14)² + 14,86² + (−19,14)² + 4,857² = 1465

Стандартне відхилення

s = √(1465/6) = 15,63

Відповідь

s = 15,63

10.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (350 − 500)/100 = −1,5

Відповідь

z = −1,5

11.Імовірність

Відповідь: N = 105

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Відповідь

N = 105

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,2333

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Додайте

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Відповідь

P = 0,2333

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 243,6 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Відповідь

x = 243,59 g

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 7,553 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 123,5 − 124,5 = −1

Стандартна похибка

SE = √(15²/40 + 18²/60) = 3,32

Похибка оцінки

E = 2,576·3,32 = 8,553

Інтервал

−1 ± 8,553 → [−9,553, 7,553]

Відповідь

верхня межа = 7,553 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 183

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·21/4)² = 182,9

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 183

Відповідь

n = 183

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Статистика критерію

t = (52,8 − 50)/1,333 = 2,1

Відповідь

t = 2,1

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 75,94

Похибка оцінки

E = 1,96·20/√81 = 4,356

Межа інтервалу

L = 80,3 − 4,356 = 75,94

Відповідь

L = 75,94

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9955

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 11136 − 135·462/6 = 741

S_xx = 3195 − 135²/6 = 157,5

S_yy = 39092 − 462²/6 = 3518

Коефіцієнт кореляції

r = 741/√(157,5·3518) = 0,9955

Відповідь

r = 0,9955

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 5

Середні

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 504/6 = 84

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 416

Лінія регресії

b = 416/70 = 5,943

a = 84 − 5,943·20 = −34,86

ŷ = −34,86 + 5,943·x

Прогнозоване значення

ŷ = −34,86 + 5,943·20 = 84

Залишок

e = 89 − 84 = 5

Відповідь

e = 5

Точка лежить вище прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income