Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €3 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 7 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €3 000i = 7%n = 4

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €25 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 6 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €25 0004,8% / 12N = 72

I = €

3.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €80 000. Він приносить €17 500 наприкінці кожного року протягом 5 років, а потім його можна продати за €16 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €80 000CF = €17 500S = €16 000n = 5r = 12%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €100 000. Його грошовий потік становить €17 000 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €17 000g = 3%n = 7r = 10%

NPV = €

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 8%n = 12

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% двома піврічними платежами й погашається через 5 років. Вона продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 4% (2×)n = 5P = €935

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 7,44%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 25%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €8 000 000D = €1 000 000WACC = 7,44%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €10,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 7,5%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 36, 22, 32, 41, 22, 34, 46.

n = 7

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 103,2?

μ = 100σ = 8x = 103,2

P =

11.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 15 осіб? Порядок не має значення.

n = 15k = 3

N =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 9p = 0,7k = 5

P =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 769,7 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769,7 g

P =

14.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 30% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів30%

x = балів

15.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 47,5 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 60,5 h, відоме стандартне відхилення 7 h. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 47,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 30x̄₂ = 60,5 hσ₂ = 7 h99%

E = h

16.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,3 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p ≈ 0,3E = 0,0599%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 73,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 10 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 78,3 mm, відоме стандартне відхилення 12 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 73,5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 100x̄₂ = 78,3 mmσ₂ = 12 mm

z =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 18. Насправді середнє дорівнює 191.9. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 191,9σ = 18n = 36α = 0,01

1 − β = %

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (11, 13). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(11, 13)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 10162 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,7629)/0,07 = 3,387

Теперішня вартість

PV = 3 000·3,387 = €10 161,63

Відповідь

PV = €10 161,63

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 3822 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 72

A = 25 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁷²) = €400,31

Усього відсотків

I = N·A − P = 72·400,3 − 25 000 = €3 822,19

Відповідь

I = €3 822,19

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −7838 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

17 500·3,605 = 63 083,58

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

16 000/1,762 = 9 078,83

NPV

NPV = −80 000 + 63 083,58 + 9 078,83 = −€7 837,59

Відповідь

NPV = −€7 837,59

4.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −10415 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,03)/(1,1))⁷ = 0,6311

PV = 17 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,6311) = 89 585,20

NPV

NPV = 89 585,20 − 100 000 = −€10 414,80

Відповідь

NPV = −€10 414,80

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 733,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €22,50, i = 0,04, N = 24

Теперішня вартість купонів

€22,50·(1 − 0,3901)/0,04 = €343,06

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,3901 = €390,12

Ціна

P = €733,18

Відповідь

P = €733,18

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 5,505 %

За період

C = €20,00, N = 10

Чисельний розв’язок

i = 2,752% за півроку

YTM

YTM = 2·2,752% = 5,505%

Відповідь

YTM = 5,505%

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 7,995 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

Частка боргу у WACC

0,1111·4%·(1 − 0,25) = 0,3333%

Вартість власного капіталу

r_e = (7,44% − 0,3333%)/0,8889 = 7,995%

Відповідь

r_e = 7,995%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,747 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€10,50 = €42 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·5% = 8%

Ваги

V = €46 800 000, E/V = 0,8974, D/V = 0,1026

WACC

WACC = 0,8974·8% + 0,1026·7%·(1 − 0,21) = 7,747%

Відповідь

WACC = 7,747%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 8,995

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 233/7 = 33,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,714² + (−11,29)² + (−1,286)² + 7,714² + (−11,29)² + 0,7143² + 12,71² = 485,4

Стандартне відхилення

s = √(485,4/6) = 8,995

Відповідь

s = 8,995

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

11.Імовірність

Відповідь: N = 455

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Відповідь

N = 455

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,1715

Біноміальна формула

P(X = 5) = 126·0,7⁵·0,3⁴ = 126·0,1681·0,0081 = 0,1715

Відповідь

P = 0,1715

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02275

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 70,2 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,7

z з таблиці

z ≈ 0,52

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 балів

Відповідь

x = 70,2 балів

15.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,688 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 47,5 − 60,5 = −13

Стандартна похибка

SE = √(5²/60 + 7²/30) = 1,432

Похибка оцінки

E = 2,576·1,432 = 3,688

Відповідь

E = 3,688 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 558

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,3·0,7/0,05² = 557,4

Округліть угору

n = 558

Відповідь

n = 558

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,197

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(10²/30 + 12²/100) = √4,773 = 2,185

Статистика критерію

z = (73,5 − 78,3)/2,185 = −2,197

Відповідь

z = −2,197

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 64,58 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 200 − 2,326·3 = 193

z при справжньому середньому

z = (193 − 191,9)/3 = 0,374

Потужність

потужність = P(Z < 0.374) = 64.58%

1 − β = 64,58%

Відповідь

1 − β = 64,58%

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,979

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 261/5 = 52,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 440,8

Коефіцієнт кореляції

r = 65/√(10·440,8) = 0,979

Відповідь

r = 0,979

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,486

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 66/6 = 11

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Лінія регресії

b = 96/70 = 1,371

a = 11 − 1,371·7 = 1,4

ŷ = 1,4 + 1,371·x

Прогнозоване значення

ŷ = 1,4 + 1,371·11 = 16,49

Залишок

e = 13 − 16,49 = −3,486

Відповідь

e = −3,486

Точка лежить нижче прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income