Через 3 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0006% / 4n = 3
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 5 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €20 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €6 000, €6 000, €4 000, €7 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €150 000. Його грошовий потік становить €25 500 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €150 000CF1 = €25 500g = 5%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 8%YTM = 5,5%n = 5
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 8 років і продається за €940. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 8P = €940
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,4 має необхідну дохідність 9,1%. Безризикова ставка 3,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,4re = 9,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 1 000 000 акцій по €11,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 8%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 60,4?
μ = 70σ = 12x = 60,4
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 4 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
4 / 3
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 5 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 5p = 0,4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них менша за 74 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 74 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 15 елементів має середнє 36 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 15x̄ = 36s = 1495%t(14) = 2,145
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,7 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?
p ≈ 0,7E = 0,0599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 125,1 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 125,1s = 12n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 75.05. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 80μ = 75,05σ = 15n = 100α = 0,01
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 23?
n = 6ŷ = 23
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 33455 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·3 = 12
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,196 = €33 455,50
Відповідь
PV = €33 455,50
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 397,9 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 20 000·0,006/(1 − 0,6984) = €397,91
Відповідь
A = €397,91
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −1398 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 6 000/1,09 = 5 504,59
CF2/(1 + 0,09)2 = 6 000/1,188 = 5 050,08
CF3/(1 + 0,09)3 = 4 000/1,295 = 3 088,73
CF4/(1 + 0,09)4 = 7 000/1,412 = 4 958,98
Додайте
NPV = €−1 397,62
Відповідь
NPV = €−1 397,62
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −17582 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1108 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €40,00, i = 0,0275, N = 10
Теперішня вартість купонів
€40,00·(1 − 0,7624)/0,0275 = €345,60
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7624 = €762,40
Ціна
P = €1 108,00
Відповідь
P = €1 108,00
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 7,005 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€940 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,005%
Відповідь
YTM = 7,005%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 7,5 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (9,1% − 3,5%)/1,4 = 4%
Ринкова дохідність
rm = 3,5% + 4% = 7,5%
Відповідь
rm = 7,5%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 4,057 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2857
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0,2857
Відповідь
P = 0,2857
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,337
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,65 = 0,07776
P(X = 1) = 5·0,4·0,64 = 0,2592
Додайте
P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337
Відповідь
P = 0,337
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8461
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 72 kg, σT = 0,8·√6 = 1,96 kg
Стандартизуйте
z = (74 − 72)/1,96 = 1,02
Імовірність
P = Φ(1,02) = 0,8461
Відповідь
P = 0,8461
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 448,7 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Назад до x
x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h
Відповідь
x = 448,74 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 28,25
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Похибка оцінки
E = 2,145·14/√15 = 7,754
Інтервал
36 ± 7,754 → [28,25, 43,75]
Відповідь
нижня межа = 28,25
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 558
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 2,576²·0,7·0,3/0,05² = 557,4
Округліть угору
n = 558
Відповідь
n = 558
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Статистика критерію
t = (125,1 − 120)/3 = 1,7
Відповідь
t = 1,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 16,5 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 80 − 2,326·1,5 = 76,51
z при справжньому середньому
z = (76,51 − 75,05)/1,5 = 0,974
Помилка другого роду
потужність = P(Z < 0.974) = 83.5%
β = 100% − 83,5% = 16,5%
Відповідь
β = 16,5%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9723
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 82/5 = 16,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Syy = Σ(y − ȳ)² = 227,2
Коефіцієнт детермінації
r² = 94²/(40·227,2) = 0,9723
Відповідь
r² = 0,9723
Близько 97,23% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,86
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 143/6 = 23,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5
Лінія регресії
b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 23,83 − (−2,314)·3,5 = 31,93
ŷ = 31,93 − 2,314·x
Розв’яжіть щодо x
x = (23 − 31,93)/(−2,314) = 3,86
Відповідь
x = 3,86
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.