Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Процентна ставка 10 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €5 000i = 10%n = 5
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €100 наприкінці кожного місяця протягом 10 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1004,8% / 12N = 120
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €24 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 4 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €500 000CF1 = €24 000g = 4%r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €50 000 і приносить €23 000, €31 500, €35 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 23 000CF2 = 31 500CF3 = 35 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 9 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%), коли її дохідність до погашення становить 6%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 9y0 = 6%y1 = 5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% двома піврічними платежами й погашається через 5 років. Вона продається за €792. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 2% (2×)n = 5P = €792
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
E = €2 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €13,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 103,2?
μ = 100σ = 8x = 103,2
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 7 осіб? Порядок не має значення.
n = 7k = 4
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,15 і €40 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €2€4: p = 0,15€40: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8715. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8715
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 11 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 2,7 і стандартне відхилення 6,2. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 11d̄ = 2,7sd = 6,295%t(10) = 2,228
нижня межа = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 20E = 0,590%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 15. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 48,02. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 50σ = 15n = 100x̄ = 48,02H₁: μ < μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 25 вимірювань має середнє 54,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 54,8σ = 12n = 2595%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 30Σy = 97Σx² = 220Σy² = 2263Σxy = 704
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 18954 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6209)/0,1 = 3,791
Теперішня вартість
PV = 5 000·3,791 = €18 953,93
Відповідь
PV = €18 953,93
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 15363 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 24 000/(0,08 − 0,04) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Відповідь
NPV = €100 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 32,97 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 2 262,18
NPV(35%) = −1 453,54
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, N = 10
Чисельний розв’язок
i = 3,501% за півроку
YTM
YTM = 2·3,501% = 7,002%
Відповідь
YTM = 7,002%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,867 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·9% + 0,3333·7%·(1 − 0,2) = 7,867%
Відповідь
WACC = 7,867%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,049 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Відповідь
P = 0,6554
11.Імовірність
Відповідь: N = 35
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35
Відповідь
N = 35
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −0,6 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 2 (p = 0,15), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)
Математичне сподівання
E(G) = 2·0,15 + 38·0,02 − 2·0,83 = −0,6 €
Відповідь
E(G) = −0,6 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,52
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,8715)/2 = 0,9357
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9357 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,52
Відповідь
z = 1,52
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 22,13 min
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Відповідь
x = 22,13 min
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −1,465 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 10, t = 2,228
Похибка оцінки
E = 2,228·6,2/√11 = 4,165
Інтервал
2,7 ± 4,165 → [−1,465, 6,865]
Відповідь
нижня межа = −1,465 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 4330
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·20/0,5)² = 4330
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 4330
Відповідь
n = 4330
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,09342
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5
z = (48,02 − 50)/1,5 = −1,32
Площа хвоста
Φ(1,32) = 0,9066
1 − Φ(1,32) = 0,0934
p-значення
p = 0,09342
Відповідь
p = 0,09342
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 59,5
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·12/√25 = 4,704
Межа інтервалу
U = 54,8 + 4,704 = 59,5
Відповідь
U = 59,5
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,988
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 704 − 30·97/5 = 122
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2263 − 97²/5 = 381,2
Коефіцієнт кореляції
r = 122/√(40·381,2) = 0,988
Відповідь
r = 0,988
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 46,14
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 294/6 = 49
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50
Лінія регресії
b = 50/17,5 = 2,857
a = 49 − 2,857·3,5 = 39
ŷ = 39 + 2,857·x
Прогноз
ŷ = 39 + 2,857·2,5 = 46,14
Відповідь
ŷ = 46,14
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.