Через 7 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €40 0004% / 4n = 7
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €15 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €29 000, €29 000, €15 000, €26 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €17 500, €22 500, €26 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 17 500CF2 = 22 500CF3 = 26 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 7%YTM = 6%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 7%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 2%n = 6YTM = 7%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,6 має необхідну дохідність 4,2%. Безризикова ставка 1,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,6re = 4,2%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 500 000 акцій по €33,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 6%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 50.
μ = 70σ = 20x = 50
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,3
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?
n = 9p = 0,2k = 4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7959. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7959
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 13 елементів має середнє 14 і стандартне відхилення s = 17. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 13x̄ = 14s = 1790%t(12) = 1,782
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 7. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 7E = 2,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 501,8 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,8s = 10n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 16 вимірювань має середнє 71,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 71,3σ = 15n = 1695%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 27Σy = 235Σx² = 139Σy² = 9559Σxy = 1135
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 16?
n = 5ŷ = 16
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 30273 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·7 = 28
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,321 = €30 273,42
Відповідь
PV = €30 273,42
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 236 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·6 = 72
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,7776
A = 15 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €236,05
Відповідь
A = €236,05
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −3126 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 29 000/1,15 = 25 217,39
CF2/(1 + 0,15)2 = 29 000/1,322 = 21 928,17
CF3/(1 + 0,15)3 = 15 000/1,521 = 9 862,74
CF4/(1 + 0,15)4 = 26 000/1,749 = 14 865,58
Додайте
NPV = €−3 126,11
Відповідь
NPV = €−3 126,11
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 28,07 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(25%) = 1 968,00
NPV(30%) = −1 162,95
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €35,00, i = 0,03, N = 8
Теперішня вартість купонів
€35,00·(1 − 0,7894)/0,03 = €245,69
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7894 = €789,41
Ціна
P = €1 035,10
Відповідь
P = €1 035,10
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 5,662 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 20/1,07 = 18,69, t·PV = 18,69
t = 2: 20/1,145 = 17,47, t·PV = 34,94
t = 3: 20/1,225 = 16,33, t·PV = 48,98
t = 4: 20/1,311 = 15,26, t·PV = 61,03
t = 5: 20/1,403 = 14,26, t·PV = 71,30
t = 6: 1020/1,501 = 679,67, t·PV = 4 078,01
Дюрація
P = 761,67
D = 4 312,95/761,67 = 5,662
Відповідь
D = 5,662 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 6 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (4,2% − 1,5%)/0,6 = 4,5%
Ринкова дохідність
rm = 1,5% + 4,5% = 6%
Відповідь
rm = 6%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,765 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (50 − 70)/20 = −1
Відповідь
z = −1
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 152,8
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,7959)/2 = 0,8980
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8980 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,27
Відповідь
z = 1,27
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9099
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Відповідь
P = 0,9099
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 8,402
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Похибка оцінки
E = 1,782·17/√13 = 8,402
Відповідь
E = 8,402
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 31
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·7/2,5)² = 30,12
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 31
Відповідь
n = 31
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,72
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Статистика критерію
t = (501,8 − 500)/2,5 = 0,72
Відповідь
t = 0,72
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 78,65
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·15/√16 = 7,35
Межа інтервалу
U = 71,3 + 7,35 = 78,65
Відповідь
U = 78,65
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9835
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1135 − 27·235/6 = 77,5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 9559 − 235²/6 = 354,8
Коефіцієнт кореляції
r = 77,5/√(17,5·354,8) = 0,9835
Відповідь
r = 0,9835
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,643
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 89/5 = 17,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Лінія регресії
b = −28/10 = −2,8
a = 17,8 − (−2,8)·3 = 26,2
ŷ = 26,2 − 2,8·x
Розв’яжіть щодо x
x = (16 − 26,2)/(−2,8) = 3,643
Відповідь
x = 3,643
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.