Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 6 років вам потрібно €15 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €15 0004,8% / 4n = 6

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €12 0003,6% / 12N = 36

A = €

3.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €80 000, служить 9 років, а його експлуатація коштує €2 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €80 000M = €2 000n = 9r = 5%

EAC = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €16 500, €12 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 12 000

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 3,5%n = 11

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 3 років і продається за €975. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 8%n = 3P = €975

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 1 000 000 акцій по €59,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,3r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 34, 47, 37, 52, 12, 39.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 178?

μ = 170σ = 8x = 178

P =

11.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 7

P =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 8p = 0,4k = 3

P =

13.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 175,9 і 183,95 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 175,9x₂ = 183,95

P =

14.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 40% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів40%

x = балів

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 20 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 5,2 і стандартне відхилення 0,8. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 20d̄ = 5,2s_d = 0,899%t(19) = 2,861

верхня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,2 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?

p ≈ 0,2E = 0,0395%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 6 студентів, середній бал 84, стандартне відхилення 12. Група 2: 16 студентів, середній бал 96,3, стандартне відхилення 8,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 6x̄₁ = 84s₁ = 12n₂ = 16x̄₂ = 96,3s₂ = 8,5

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 12E = 299%

n =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4, 58). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(4, 58)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 11266 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·6 = 24

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,331 = €11 265,72

Відповідь

PV = €11 265,72

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 352,2 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·3 = 36

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,8978

A = 12 000·0,003/(1 − 0,8978) = €352,16

Відповідь

A = €352,16

3.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 13255 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,05⁻⁹)/0,05 = 7,108

Ціна придбання, перерахована на рік

80 000/7,108 = 11 255,21

EAC

EAC = 11 255,21 + 2 000 = €13 255,21

Відповідь

EAC = €13 255,21

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 9,74 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 1 598,64

NPV(10%) = −82,64

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 598,64/(1 598,64 − (−82,64)) = 9,754%

точно: NPV(9,74%) = 0 → IRR = 9,74%

Відповідь

IRR = 9,74%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1317 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,0175, N = 22

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,6827)/0,0175 = €634,56

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,6827 = €682,72

Ціна

P = €1 317,28

Відповідь

P = €1 317,28

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 8,987 %

Рівняння для дохідності

€975 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Чисельний розв’язок

P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €974,69

YTM = 8,987%

Відповідь

YTM = 8,987%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 12,26 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091

WACC

WACC = 0,9091·13% + 0,09091·7%·(1 − 0,3) = 12,26%

Відповідь

WACC = 12,26%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,362 %

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€59,50 = €59 500 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 4% + 1,3·4,5% = 9,85%

Ваги

V = €64 500 000, E/V = 0,9225, D/V = 0,07752

WACC

WACC = 0,9225·9,85% + 0,07752·4,5%·(1 − 0,21) = 9,362%

Відповідь

WACC = 9,362%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 13,88

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 221/6 = 36,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−2,833)² + 10,17² + 0,1667² + 15,17² + (−24,83)² + 2,167² = 962,8

Стандартне відхилення

s = √(962,8/5) = 13,88

Відповідь

s = 13,88

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,1515

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Відповідь

P = 0,1515

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,2787

Біноміальна формула

P(X = 3) = 56·0,4³·0,6⁵ = 56·0,064·0,07776 = 0,2787

Відповідь

P = 0,2787

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4202

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3

z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Площа між

P = Φ(0,85) − Φ(−0,3) = 0,8023 − 0,3821 = 0,4202

Відповідь

P = 0,4202

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 103,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,6

z з таблиці

z ≈ 0,25

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 балів

Відповідь

x = 103,8 балів

15.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 5,712 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 19, t = 2,861

Похибка оцінки

E = 2,861·0,8/√20 = 0,5118

Інтервал

5,2 ± 0,5118 → [4,688, 5,712]

Відповідь

верхня межа = 5,712 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 683

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,2·0,8/0,03² = 683

Округліть угору

n = 683

Відповідь

n = 683

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,706

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (5·12² + 15·8,5²)/20 = 90,19

s_p = 9,497

Стандартна похибка

SE = 9,497·√(1/6 + 1/16) = 4,546

Статистика критерію

t = (84 − 96,3)/4,546 = −2,706

Відповідь

t = −2,706

При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 239

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·12/2)² = 238,9

Округліть угору

n = 239

Відповідь

n = 239

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9635

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 258/5 = 51,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 337,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 57²/(10·337,2) = 0,9635

Відповідь

r² = 0,9635

Близько 96,35% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,557

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 399/6 = 66,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

Лінія регресії

b = 387/70 = 5,529

a = 66,5 − 5,529·6 = 33,33

ŷ = 33,33 + 5,529·x

Прогнозоване значення

ŷ = 33,33 + 5,529·4 = 55,44

Залишок

e = 58 − 55,44 = 2,557

Відповідь

e = 2,557

Точка лежить вище прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income