Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.
PV = €5 0005% / 4n = 4
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 8 років. Рахунок дає 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1503% / 12N = 96
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €100 000. Він приносить €20 500 наприкінці кожного року протягом 6 років, а потім його можна продати за €20 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF = €20 500S = €20 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €50 000 приносить €10 500 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €50 000CF = €10 500n = 9
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 15 років і виплачує річні купони. Вона продається за €896, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 15P = €896YTM = 5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 8%n = 6YTM = 5%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,2 має необхідну дохідність 7,9%. Безризикова ставка 2,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,2re = 7,9%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 500 000 акцій по €31,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 20%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 30.
μ = 70σ = 20x = 30
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 5 червоних і 4 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
5 / 4
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €5 з імовірністю 0,25 і €20 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€5: p = 0,25€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 247,5 і 257,75 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 247,5x2 = 257,75
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 90,5 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 82 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 5,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.
n = 21s = 5,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 13 студентів, середній бал 118,5, стандартне відхилення 5,5. Група 2: 9 студентів, середній бал 126,8, стандартне відхилення 7,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
Вибірка з 25 вимірювань має середнє 192,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 192,2σ = 15n = 2599%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5,5, 17). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 17)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 6099 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
20 500·4,355 = 89 282,84
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
20 000/1,772 = 11 289,48
NPV
NPV = −100 000 + 89 282,84 + 11 289,48 = €572,32
Відповідь
NPV = €572,32
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 15,06 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−9)/i = 50 000/10 500 = 4,762
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 15%: 4,772
i = 16%: 4,607
IRR = 15,06%
Відповідь
IRR = 15,06%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 3,998 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,05)−15 = €481,02
Купон
C = (896 − 481,02)/10,38 = €39,98
Купонна ставка
c = 39,98/1000 = 3,998%
Відповідь
c = 3,998%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 5,069 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 80/1,05 = 76,19, t·PV = 76,19
t = 2: 80/1,103 = 72,56, t·PV = 145,12
t = 3: 80/1,158 = 69,11, t·PV = 207,32
t = 4: 80/1,216 = 65,82, t·PV = 263,26
t = 5: 80/1,276 = 62,68, t·PV = 313,41
t = 6: 1080/1,34 = 805,91, t·PV = 4 835,48
Дюрація
P = 1 152,27
D = 5 840,79/1 152,27 = 5,069
Відповідь
D = 5,069 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 7 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (7,9% − 2,5%)/1,2 = 4,5%
Ринкова дохідність
rm = 2,5% + 4,5% = 7%
Відповідь
rm = 7%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,126 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 500 000·€31,50 = €78 750 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 0,6·5% = 5%
Ваги
V = €99 750 000, E/V = 0,7895, D/V = 0,2105
WACC
WACC = 0,7895·5% + 0,2105·7%·(1 − 0,2) = 5,126%
Відповідь
WACC = 5,126%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 13,57
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (30 − 70)/20 = −2
Відповідь
z = −2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2778
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778
Відповідь
P = 0,2778
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 0,65 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 4 (p = 0,25), 19 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)
Математичне сподівання
E(G) = 4·0,25 + 19·0,02 − 1·0,73 = 0,65 €
Відповідь
E(G) = 0,65 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6309
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5
z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55
Площа між
P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309
Відповідь
P = 0,6309
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 473 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Відповідь
x = 473,02 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 12,54 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 90,5 − 82 = 8,5
Стандартна похибка
SE = √(13²/30 + 4²/40) = 2,456
Похибка оцінки
E = 1,645·2,456 = 4,041
Інтервал
8,5 ± 4,041 → [4,459, 12,54]
Відповідь
верхня межа = 12,54 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 4,514 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 20·5,9² = 696,2
Межі для σ²
696,2/34,17 = 20,37
696,2/9,591 = 72,59
Межа для σ
σ = √20,37 = 4,514 µm
Відповідь
σ = 4,514 µm
95 % інтервал для σ: [4,514, 8,52] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,002
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (12·5,5² + 8·7,5²)/20 = 40,65
sp = 6,376
Стандартна похибка
SE = 6,376·√(1/13 + 1/9) = 2,765
Статистика критерію
t = (118,5 − 126,8)/2,765 = −3,002
Відповідь
t = −3,002
При df = 20 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,086; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 184,5
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·15/√25 = 7,728
Межа інтервалу
L = 192,2 − 7,728 = 184,5
Відповідь
L = 184,5
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9934
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 480/5 = 96
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 450
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2280
Коефіцієнт кореляції
r = 450/√(90·2280) = 0,9934
Відповідь
r = 0,9934
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 1,714
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50
Лінія регресії
b = −50/17,5 = −2,857
a = 21 − (−2,857)·3,5 = 31
ŷ = 31 − 2,857·x
Прогнозоване значення
ŷ = 31 + (−2,857)·5,5 = 15,29
Залишок
e = 17 − 15,29 = 1,714
Відповідь
e = 1,714
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.