Ануїтет виплачує €1 500 наприкінці кожного року протягом 4 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €1 500i = 6%n = 4
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €20 0006% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €29 000, €24 000, €28 000, €29 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €20 000 і приносить €9 000, €10 500, €10 000, €10 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 6 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 081, коли дохідність до погашення становить 3%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 6P = €1 081YTM = 3%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 7 років і продається за €1 095. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €5 000 000 і вартістю власного капіталу 14%. Її борг складається з 2 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 4 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 018. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них перевищує 407,6 g. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 407,6 g
P =
14.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 60% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів60%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 126,5 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 122 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 35. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 35E = 0,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 502,3 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,3s = 20n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 36 вимірювань має середнє 51,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 51,8σ = 5n = 3699%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 21Σy = 106Σx² = 91Σy² = 1948Σxy = 336
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 20). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 20)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 5198 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7921)/0,06 = 3,465
Теперішня вартість
PV = 1 500·3,465 = €5 197,66
Відповідь
PV = €5 197,66
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 469,7 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,7871
A = 20 000·0,005/(1 − 0,7871) = €469,70
Відповідь
A = €469,70
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 18356 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 29 000/1,15 = 25 217,39
CF2/(1 + 0,15)2 = 24 000/1,322 = 18 147,45
CF3/(1 + 0,15)3 = 28 000/1,521 = 18 410,45
CF4/(1 + 0,15)4 = 29 000/1,749 = 16 580,84
Додайте
NPV = €18 356,14
Відповідь
NPV = €18 356,14
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 22,4 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
9 000·1,083 = 11 337,41
10 500·1,082 = 12 247,20
10 000·1,081 = 10 800,00
10 500·1,080 = 10 500,00
TV = 44 884,61
MIRR
MIRR = (44 884,61/20 000)1/4 − 1 = 22,4%
Відповідь
MIRR = 22,4%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 4,495 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,03)−6 = €837,48
Купон
C = (1081 − 837,48)/5,417 = €44,95
Купонна ставка
c = 44,95/1000 = 4,495%
Відповідь
c = 4,495%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,504 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30
YTM = 2,504%
Відповідь
YTM = 2,504%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,31 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·13% + 0,25·3%·(1 − 0,25) = 10,31%
Відповідь
WACC = 10,31%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,93 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Відповідь
P = 0,6915
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,284
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 23, Var(X) = 101, σX = 10,05
Лінійна зміна
σY = |2|·10,05 = 20,1
Відповідь
σY = 20,1
Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·23 + 4 = 50.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,02275
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 400 g, σT = 1,2·√10 = 3,795 g
Стандартизуйте
z = (407,6 − 400)/3,795 = 2
Імовірність
P = 1 − Φ(2) = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 96,3 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,4
z з таблиці
z ≈ −0,25
Назад до початкових одиниць
x = 100 − 0,25·15 = 96,3 балів
Відповідь
x = 96,3 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 1,645 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 126,5 − 122 = 4,5
Стандартна похибка
SE = √(4²/80 + 15²/80) = 1,736
Похибка оцінки
E = 1,645·1,736 = 2,855
Інтервал
4,5 ± 2,855 → [1,645, 7,355]
Відповідь
нижня межа = 1,645 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 18824
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·35/0,5)² = 18824
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 18824
Відповідь
n = 18824
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,69
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Статистика критерію
t = (502,3 − 500)/3,333 = 0,69
Відповідь
t = 0,69
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 53,95
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 2,576·5/√36 = 2,147
Межа інтервалу
U = 51,8 + 2,147 = 53,95
Відповідь
U = 53,95
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,964
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 336 − 21·106/6 = −35
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1948 − 106²/6 = 75,33
Коефіцієнт кореляції
r = −35/√(17,5·75,33) = −0,964
Відповідь
r = −0,964
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,3
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Лінія регресії
b = −22/10 = −2,2
a = 20 − (−2,2)·3 = 26,6
ŷ = 26,6 − 2,2·x
Прогнозоване значення
ŷ = 26,6 + (−2,2)·1,5 = 23,3
Залишок
e = 20 − 23,3 = −3,3
Відповідь
e = −3,3
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.