Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €1 000 під 3 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 17 років.

PV = €1 000r = 3%t = 17

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 17 років. Рахунок дає 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2503,6% / 12N = 204

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €11 000, €15 500, €12 000, €22 500, €14 000 наприкінці років з 1 по 5. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 11 000CF₂ = 15 500CF₃ = 12 000CF₄ = 22 500CF₅ = 14 000

DPB = роки

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €14 500, €11 500, €17 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 11 500CF₃ = 17 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4%YTM = 3%n = 5

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 5,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 2%n = 5YTM = 5,5%

D = роки

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 1 000 000 акцій по €56,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 6,5%. Знайдіть WACC.

β = 0,8r_f = 2%r_m = 6,5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 54, 17, 33, 40, 25, 26.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 110.

μ = 100σ = 10x = 110

z =

11.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,3, 0,25, 0,25

σ =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 12p = 0,2

P =

13.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 30 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

14.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 7 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 5,5 і стандартне відхилення 6,4. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 7d̄ = 5,5s_d = 6,490%t(6) = 1,943

нижня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 17 ділянок, середній урожай 93,5 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 95,5 kg, стандартне відхилення 4 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 17x̄₁ = 93,5s₁ = 6,5n₂ = 5x̄₂ = 95,5s₂ = 495%t(20) = 2,086

верхня межа = kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 25. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 116,7. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 25n = 100x̄ = 116,7H₁: μ ≠ μ₀

p =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 48,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 48,1σ = 12n = 8199%

L =

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 27,5.

n = 6x = 27,5

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 1665 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,03·17 = 0,51

e^0,51 = 1,665

Майбутня вартість

FV = 1 000·1,665 = €1 665,29

Відповідь

FV = €1 665,29

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 70202 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·17 = 204

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,842 − 1)/0,003 = €70 202,27

Відповідь

FV = €70 202,27

Самі ви внесли €51 000; решта — відсотки.

3.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,323 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 11 000/1,1 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00

рік 2: 15 500/1,21 = 12 809,92 → Σ = 22 809,92

рік 3: 12 000/1,331 = 9 015,78 → Σ = 31 825,69

рік 4: 22 500/1,464 = 15 367,80 → Σ = 47 193,50

рік 5: 14 000/1,611 = 8 692,90 → Σ = 55 886,40

Частка останнього року

DPB = 4 + 2 806,50/8 692,90 = 4,323

Відповідь

DPB = 4,323 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,511 років).

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 32,55 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(30%) = 923,99

NPV(35%) = −836,51

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 30 + 5·923,99/(923,99 − (−836,51)) = 32,62%

точно: NPV(32,55%) = 0 → IRR = 32,55%

Відповідь

IRR = 32,55%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1046 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €20,00, i = 0,015, N = 10

Теперішня вартість купонів

€20,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €184,44

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8617 = €861,67

Ціна

P = €1 046,11

Відповідь

P = €1 046,11

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 4,788 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 20/1,055 = 18,96, t·PV = 18,96

t = 2: 20/1,113 = 17,97, t·PV = 35,94

t = 3: 20/1,174 = 17,03, t·PV = 51,10

t = 4: 20/1,239 = 16,14, t·PV = 64,58

t = 5: 1020/1,307 = 780,44, t·PV = 3 902,19

Дюрація

P = 850,54

D = 4 072,75/850,54 = 4,788

Відповідь

D = 4,788 роки

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,375 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 7,375%

Відповідь

WACC = 7,375%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,393 %

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€56,50 = €56 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 0,8·4,5% = 5,6%

Ваги

V = €61 400 000, E/V = 0,9202, D/V = 0,0798

WACC

WACC = 0,9202·5,6% + 0,0798·4%·(1 − 0,25) = 5,393%

Відповідь

WACC = 5,393%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 13,1

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 195/6 = 32,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 21,5² + (−15,5)² + 0,5² + 7,5² + (−7,5)² + (−6,5)² = 857,5

Стандартне відхилення

s = √(857,5/5) = 13,1

Відповідь

s = 13,1

10.Описова статистика

Відповідь: z = 1

Стандартизуйте

z = (110 − 100)/10 = 1

Відповідь

z = 1

11.Імовірність

Відповідь: σ = 10,71

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,2 + 20·0,3 + 30·0,25 + 40·0,25 = 25,5

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,3 + 900·0,25 + 1600·0,25 = 765

Дисперсія

Var(X) = 765 − 25,5² = 114,8

σ = √114,8 = 10,71

Відповідь

σ = 10,71

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,2749

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Додайте

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Відповідь

P = 0,2749

13.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (30 − 32)/2,5 = −0,8

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

14.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9207

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Відповідь

P = 0,9207

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 0,7999 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 6, t = 1,943

Похибка оцінки

E = 1,943·6,4/√7 = 4,7

Інтервал

5,5 ± 4,7 → [0,7999, 10,2]

Відповідь

нижня межа = 0,7999 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 4,455 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (16·6,5² + 4·4²)/20 = 37

s_p = 6,083

Похибка оцінки

E = 2,086·6,083·√(1/17 + 1/5) = 6,455

Інтервал

−2 ± 6,455 → [−8,455, 4,455]

Відповідь

верхня межа = 4,455 kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,1868

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (116,7 − 120)/2,5 = −1,32

Площа хвоста

Φ(1,32) = 0,9066

1 − Φ(1,32) = 0,0934

p-значення

p = 2·0,0934 = 0,1868

Відповідь

p = 0,1868

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 44,67

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·12/√81 = 3,435

Межа інтервалу

L = 48,1 − 3,435 = 44,67

Відповідь

L = 44,67

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8176

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 208/5 = 41,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 133,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 33²/(10·133,2) = 0,8176

Відповідь

r² = 0,8176

Близько 81,76% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 74,95

Середні

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 407/6 = 67,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 373,5

Лінія регресії

b = 373,5/157,5 = 2,371

a = 67,83 − 2,371·24,5 = 9,733

ŷ = 9,733 + 2,371·x

Прогноз

ŷ = 9,733 + 2,371·27,5 = 74,95

Відповідь

ŷ = 74,95

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income