Ви інвестуєте €2 000 під 7 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 9 років.
PV = €2 000r = 7%t = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2504,8% / 12N = 348
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €28 000, €27 000, €21 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €5 500, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 000, €5 000, €6 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 9%n = 12
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 10 років і продається за €1 120. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 10P = €1 120
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 2 має необхідну дохідність 11,5%. Безризикова ставка 2,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 2re = 11,5%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €29,00; балансова вартість її власного капіталу €43 500 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,00 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €145 000 000 і вартість до оподаткування 3%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0446. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,0446
z =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 40% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g40%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 30 елементів має середнє 40,5 і стандартне відхилення s = 16. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 30x̄ = 40,5s = 1690%t(29) = 1,699
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 17 ділянок, середній урожай 54 kg, стандартне відхилення 7 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 43,5 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 25 студентів має середній бал 55,76 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 55,76s = 12n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 1 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 10. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 49?
n = 6ŷ = 49
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 3755 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,07·9 = 0,63
e0,63 = 1,878
Майбутня вартість
FV = 2 000·1,878 = €3 755,22
Відповідь
FV = €3 755,22
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 188233 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 28 000/1,07 = 26 168,22
CF2/(1 + 0,07)2 = 27 000/1,145 = 23 582,85
CF3/(1 + 0,07)3 = 21 000/1,225 = 17 142,26
Додайте
NPV = €6 893,33
Відповідь
NPV = €6 893,33
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,802 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Відповідь
r* = 4,802%
Перевірка: при 4,802% обидві NPV дорівнюють €1 061,73.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 673,9 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,045, N = 24
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,3477)/0,045 = €326,15
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,3477 = €347,70
Ціна
P = €673,85
Відповідь
P = €673,85
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,485 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (11,5% − 2,5%)/2 = 4,5%
Ринкова дохідність
rm = 2,5% + 4,5% = 7%
Відповідь
rm = 7%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 4,906 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість власного капіталу
D1 = 1·1,04 = €1,04
re = 1,04/29 + 0,04 = 7,586%
Ринкові вартості
E = 5 000 000·€29,00 = €145 000 000
V = €290 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,586% + 0,5·3%·(1 − 0,258) = 4,906%
Відповідь
WACC = 4,906%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 13,15
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Відповідь
P = 0,9772
11.Імовірність
Відповідь: N = 1287
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Відповідь
N = 1287
12.Імовірність
Відповідь: σY = 2,791
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1,45, Var(X) = 1,948, σX = 1,396
Лінійна зміна
σY = |2|·1,396 = 2,791
Відповідь
σY = 2,791
Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·1,45 − 3 = −0,1.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,7
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,0446 = 0,9554
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9554 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,70
Відповідь
z = 1,70
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 251,3 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,6
z з таблиці
z ≈ 0,25
Назад до початкових одиниць
x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g
Відповідь
x = 251,3 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,963
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Похибка оцінки
E = 1,699·16/√30 = 4,963
Відповідь
E = 4,963
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 5,888 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (16·7² + 8·5,5²)/24 = 42,75
sp = 6,538
Похибка оцінки
E = 1,711·6,538·√(1/17 + 1/9) = 4,612
Інтервал
10,5 ± 4,612 → [5,888, 15,11]
Відповідь
нижня межа = 5,888 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Статистика критерію
t = (55,76 − 50)/2,4 = 2,4
Відповідь
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 619
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·10/1)² = 618,5
Округліть угору
n = 619
Відповідь
n = 619
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9798
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 351/6 = 58,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 577,5
Коефіцієнт кореляції
r = 98,5/√(17,5·577,5) = 0,9798
Відповідь
r = 0,9798
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 6,564
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 269/6 = 44,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68,5
Лінія регресії
b = 68,5/17,5 = 3,914
a = 44,83 − 3,914·5,5 = 23,3
ŷ = 23,3 + 3,914·x
Розв’яжіть щодо x
x = (49 − 23,3)/3,914 = 6,564
Відповідь
x = 6,564
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.