Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.
PV = €20 0002% / 12n = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 17 років. Рахунок дає 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €505,4% / 12N = 204
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €10 000, €7 000, €12 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €34 500, €29 000, €19 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 34 500CF2 = 29 000CF3 = 19 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 12 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%), коли її дохідність до погашення становить 3,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 12y0 = 3,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €995 з дохідністю до погашення 5% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 4,7 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 75 базисних пунктів.
P0 = €995y = 5%D = 4,7Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 0,9 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,6. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 64.
μ = 70σ = 5x = 64
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 4 червоних і 4 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
4 / 4
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 8p = 0,25
P =
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 101,8 s. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101,8 s
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 8 елементів має середнє 80,5 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 8x̄ = 80,5s = 15,599%t(7) = 3,499
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?
p = 0,5E = 0,0595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 81 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 81s = 20n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 8. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (25,5, 142). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(25,5, 142)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 23941 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 10 000/1,09 = 9 174,31
CF2/(1 + 0,09)2 = 7 000/1,188 = 5 891,76
CF3/(1 + 0,09)3 = 12 000/1,295 = 9 266,20
Додайте
NPV = €−5 667,73
Відповідь
NPV = €−5 667,73
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 33,66 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 2 346,38
NPV(35%) = −809,84
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 4,7/1,05 = 4,476
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −4,476·(−0,0075) = 3,357%
P ≈ 995·(1 + 0,03357) = €1 028,40
Відповідь
P = €1 028,40
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,357 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·8% + 0,1429·5%·(1 − 0,3) = 7,357%
Відповідь
WACC = 7,357%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,771 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 0,9/(1 + 0,75·0,5) = 0,6545
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,6545·(1 + 0,75·0,6) = 0,9491
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 0,9491·4,5% = 7,771%
Відповідь
re = 7,771%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 8,463
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (64 − 70)/5 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2143
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Відповідь
P = 0,2143
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,3671
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267
Додайте
P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671
Відповідь
P = 0,3671
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,6915
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Стандартизуйте
z = (101,8 − 105)/6,403 = −0,5
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Відповідь
P = 0,6915
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8849
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Відповідь
P = 0,8849
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 61,33
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Похибка оцінки
E = 3,499·15,5/√8 = 19,17
Інтервал
80,5 ± 19,17 → [61,33, 99,67]
Відповідь
нижня межа = 61,33
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2
Округліть угору
n = 385
Відповідь
n = 385
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,2
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Статистика критерію
t = (81 − 75)/5 = 1,2
Відповідь
t = 1,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 134
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,282)·8/2,5)² = 133,3
Округліть угору
n = 134
Відповідь
n = 134
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9704
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 314/5 = 62,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57
Syy = Σ(y − ȳ)² = 334,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 57²/(10·334,8) = 0,9704
Відповідь
r² = 0,9704
Близько 97,04% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,771
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 714/6 = 119
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 957
Лінія регресії
b = 957/157,5 = 6,076
a = 119 − 6,076·22,5 = −17,71
ŷ = −17,71 + 6,076·x
Прогнозоване значення
ŷ = −17,71 + 6,076·25,5 = 137,2
Залишок
e = 142 − 137,2 = 4,771
Відповідь
e = 4,771
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.