Кредитна картка нараховує номінальну ставку 16 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €200 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €200 0005,4% / 12N = 300
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €19 500, €14 500, €26 500, €16 500, €19 500, €19 000 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 6 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €12 000 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 6. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF1 = €12 000g = 5%n = 6r = 12%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 4 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 018, коли дохідність до погашення становить 3,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 4P = €1 018YTM = 3,5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 6% погашається через 3 років і продається за €1 040. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €35,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 120?
μ = 100σ = 20x = 120
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.
n = 12k = 4
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €40 з імовірністю 0,3 і €500 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€40: p = 0,3€500: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7457. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7457
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 7,3. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?
95%n₁ = 50E₁ = 7,399%
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 82 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Група ділянок 2: 16 ділянок, середнє 81,5 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 16 студентів має середній бал 130,9 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 130,9s = 15n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 22. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 112?
n = 6ŷ = 112
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 17,35 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Відповідь
EAR = 17,35%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1216 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·25 = 300
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,26
A = 200 000·0,0045/(1 − 0,26) = €1 216,26
Відповідь
A = €1 216,26
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,493 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 19 500/1,06 = 18 396,23 → Σ = 18 396,23
рік 2: 14 500/1,124 = 12 904,95 → Σ = 31 301,17
рік 3: 26 500/1,191 = 22 249,91 → Σ = 53 551,09
рік 4: 16 500/1,262 = 13 069,55 → Σ = 66 620,63
Частка останнього року
DPB = 3 + 6 448,91/13 069,55 = 3,493
Відповідь
DPB = 3,493 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,981 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −24960 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 3,99 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,035)−4 = €871,44
Купон
C = (1018 − 871,44)/3,673 = €39,90
Купонна ставка
c = 39,9/1000 = 3,99%
Відповідь
c = 3,99%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,544 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 040 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Чисельний розв’язок
P(4%) = €1 055,50, P(5%) = €1 027,23
YTM = 4,544%
Відповідь
YTM = 4,544%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,714 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·11% + 0,2857·4%·(1 − 0,25) = 8,714%
Відповідь
WACC = 8,714%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,356 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
11.Імовірність
Відповідь: N = 495
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Відповідь
N = 495
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 27 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 30 (p = 0,3), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)
Математичне сподівання
E(G) = 30·0,3 + 490·0,05 − 10·0,65 = 27 €
Відповідь
E(G) = 27 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,14
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,7457)/2 = 0,8729
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8729 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,14
Відповідь
z = 1,14
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7881
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Стандартизуйте
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 9,594
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(50/50) = 1,314
Нова похибка
E₂ = 7,3·1,314 = 9,594
Відповідь
E₂ = 9,594
16.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 8,062 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (4·5,5² + 15·5,5²)/19 = 30,25
sp = 5,5
Похибка оцінки
E = 2,861·5,5·√(1/5 + 1/16) = 8,062
Відповідь
E = 8,062 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,907
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Статистика критерію
t = (130,9 − 120)/3,75 = 2,907
Відповідь
t = 2,907
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 749
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·22/2)² = 748,4
Округліть угору
n = 749
Відповідь
n = 749
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9988
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 2294 − 30·363/5 = 116
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 26691 − 363²/5 = 337,2
Коефіцієнт кореляції
r = 116/√(40·337,2) = 0,9988
Відповідь
r = 0,9988
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 19,02
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 753/6 = 125,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 477
Лінія регресії
b = 477/70 = 6,814
a = 125,5 − 6,814·21 = −17,6
ŷ = −17,6 + 6,814·x
Розв’яжіть щодо x
x = (112 − (−17,6))/6,814 = 19,02
Відповідь
x = 19,02
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.